Номер 93, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 93, страница 74.

Условие.

93. Упростите выражение:

1) $\sqrt{100c^6}$, если $c \le 0$

2) $\sqrt{9m^4n^{34}}$, если $n \ge 0$

3) $\sqrt{0,16a^{38}b^{42}}$, если $a \ge 0, b \le 0$

4) $\sqrt{\frac{x^{20}y^{46}z^{50}}{x^8y^9z^{12}}}$, если $y > 0, z < 0$

5) $\frac{3,5a^{15}}{b^{10}}\sqrt{\frac{b^{24}}{0,25a^{26}}}$, если $a > 0$

6) $-0,6c^7\sqrt{1,44b^{12}c^{14}}$, если $c \le 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $\sqrt{100c^6}$ при условии $c \le 0$.
Используя свойства корней, получаем: $\sqrt{100c^6} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{c^6} = 10 \cdot \sqrt{(c^3)^2}$.
По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому $10\sqrt{(c^3)^2} = 10|c^3|$.
По условию $c \le 0$. Так как степень 3 нечетная, то $c^3 \le 0$.
По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$. Следовательно, $|c^3| = -c^3$.
Подставляя это в наше выражение, получаем: $10 \cdot (-c^3) = -10c^3$.
Ответ: $-10c^3$.

2) Упростим выражение $\sqrt{9m^4n^{34}}$ при условии $n \ge 0$.
$\sqrt{9m^4n^{34}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{n^{34}} = 3\sqrt{(m^2)^2} \cdot \sqrt{(n^{17})^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $3|m^2| \cdot |n^{17}|$.
Выражение $m^2$ всегда неотрицательно ($m^2 \ge 0$), поэтому $|m^2| = m^2$.
По условию $n \ge 0$, поэтому и $n^{17} \ge 0$. Следовательно, $|n^{17}| = n^{17}$.
Итоговое выражение: $3 \cdot m^2 \cdot n^{17} = 3m^2n^{17}$.
Ответ: $3m^2n^{17}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{0.16a^{38}b^{42}}$ при условии $a \ge 0, b \le 0$.
$\sqrt{0.16a^{38}b^{42}} = \sqrt{0.16} \cdot \sqrt{a^{38}} \cdot \sqrt{b^{42}} = 0.4\sqrt{(a^{19})^2} \cdot \sqrt{(b^{21})^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $0.4|a^{19}| \cdot |b^{21}|$.
По условию $a \ge 0$, значит $a^{19} \ge 0$ (нечетная степень сохраняет знак), и $|a^{19}| = a^{19}$.
По условию $b \le 0$, значит $b^{21} \le 0$ (нечетная степень), и $|b^{21}| = -b^{21}$.
Подставляем в выражение: $0.4 \cdot a^{19} \cdot (-b^{21}) = -0.4a^{19}b^{21}$.
Ответ: $-0.4a^{19}b^{21}$.

4) Упростим выражение $\frac{\sqrt{x^{20}y^{46}z^{50}}}{x^8y^9z^{12}}$ при условии $y > 0, z < 0$.
Сначала упростим числитель: $\sqrt{x^{20}y^{46}z^{50}} = \sqrt{(x^{10})^2} \cdot \sqrt{(y^{23})^2} \cdot \sqrt{(z^{25})^2} = |x^{10}| \cdot |y^{23}| \cdot |z^{25}|$.
Выражение $x^{10} = (x^5)^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^{10}| = x^{10}$.
По условию $y > 0$, следовательно $y^{23} > 0$, и $|y^{23}| = y^{23}$.
По условию $z < 0$, следовательно $z^{25} < 0$ (нечетная степень), и $|z^{25}| = -z^{25}$.
Таким образом, числитель равен $x^{10} \cdot y^{23} \cdot (-z^{25}) = -x^{10}y^{23}z^{25}$.
Теперь разделим полученное выражение на знаменатель: $\frac{-x^{10}y^{23}z^{25}}{x^8y^9z^{12}}$.
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем: $-x^{10-8}y^{23-9}z^{25-12} = -x^2y^{14}z^{13}$.
Ответ: $-x^2y^{14}z^{13}$.

5) Упростим выражение $3.5\frac{a^{15}}{b^{10}} \sqrt{\frac{b^{24}}{0.25a^{26}}}$ при условии $a > 0$.
Сначала упростим выражение под корнем: $\sqrt{\frac{b^{24}}{0.25a^{26}}} = \frac{\sqrt{b^{24}}}{\sqrt{0.25a^{26}}} = \frac{\sqrt{(b^{12})^2}}{0.5\sqrt{(a^{13})^2}} = \frac{|b^{12}|}{0.5|a^{13}|}$.
Так как $b^{12} \ge 0$, то $|b^{12}| = b^{12}$.
По условию $a > 0$, следовательно $a^{13} > 0$, и $|a^{13}| = a^{13}$.
Корень равен $\frac{b^{12}}{0.5a^{13}}$.
Теперь умножим на множитель перед корнем: $3.5\frac{a^{15}}{b^{10}} \cdot \frac{b^{12}}{0.5a^{13}} = \frac{3.5}{0.5} \cdot \frac{a^{15}}{a^{13}} \cdot \frac{b^{12}}{b^{10}} = 7 \cdot a^{15-13} \cdot b^{12-10} = 7a^2b^2$.
Ответ: $7a^2b^2$.

6) Упростим выражение $-0.6c^7 \sqrt{1.44b^{12}c^{14}}$ при условии $c \le 0$.
Упростим корень: $\sqrt{1.44b^{12}c^{14}} = \sqrt{1.44} \cdot \sqrt{b^{12}} \cdot \sqrt{c^{14}} = 1.2 \cdot \sqrt{(b^6)^2} \cdot \sqrt{(c^7)^2} = 1.2|b^6| \cdot |c^7|$.
Так как $b^6 \ge 0$, то $|b^6| = b^6$.
По условию $c \le 0$, следовательно $c^7 \le 0$ (нечетная степень), и $|c^7| = -c^7$.
Корень равен $1.2 \cdot b^6 \cdot (-c^7) = -1.2b^6c^7$.
Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0.6c^7 \cdot (-1.2b^6c^7) = ((-0.6) \cdot (-1.2)) \cdot b^6 \cdot (c^7 \cdot c^7) = 0.72b^6c^{14}$.
Ответ: $0.72b^6c^{14}$.