Номер 95, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 95, страница 75.

Условие.

95. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2} = x + 10$;

2) $\sqrt{x^2} = 8 - x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt{x^2} = x + 10$

Основное свойство квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Применим это свойство к нашему уравнению:

$\sqrt{x^2} = |x|$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$|x| = x + 10$

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае, по определению модуля, $|x| = x$. Уравнение становится:

$x = x + 10$

Вычитая $x$ из обеих частей, получаем:

$0 = 10$

Это неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ уравнение не имеет решений.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае, по определению модуля, $|x| = -x$. Уравнение становится:

$-x = x + 10$

Перенесем $x$ из правой части в левую:

$-x - x = 10$

$-2x = 10$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{10}{-2}$

$x = -5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию этого случая, то есть $x < 0$.

$-5 < 0$, условие выполняется. Следовательно, $x = -5$ является решением уравнения.

Для уверенности, выполним проверку, подставив корень в исходное уравнение:

$\sqrt{(-5)^2} = -5 + 10$

$\sqrt{25} = 5$

$5 = 5$

Равенство верное, решение найдено правильно.

Ответ: -5

2) $\sqrt{x^2} = 8 - x$

Используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, перепишем уравнение в следующем виде:

$|x| = 8 - x$

Поскольку модуль числа всегда является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам ограничение на возможные значения $x$:

$8 - x \ge 0$

$8 \ge x$, или $x \le 8$

Теперь решим уравнение $|x| = 8 - x$, учитывая это условие, раскрыв модуль для двух случаев.

Случай 1: $x \ge 0$

При этом условии $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x = 8 - x$

Перенесем $-x$ в левую часть:

$x + x = 8$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли этот корень условиям $x \ge 0$ и $x \le 8$.

Так как $0 \le 4 \le 8$, оба условия выполняются. Значит, $x = 4$ является решением.

Случай 2: $x < 0$

При этом условии $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x = 8 - x$

Прибавим $x$ к обеим частям:

$0 = 8$

Получено неверное равенство, значит, при $x < 0$ решений нет.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 4$.

Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$\sqrt{4^2} = 8 - 4$

$\sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, решение найдено правильно.

Ответ: 4