Номер 100, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 100, страница 75.

Условие.

100. Упростите выражение:

1) $ \sqrt{4a} + \sqrt{64a} - \sqrt{9a} $

2) $ \sqrt{98} + \sqrt{242} - \sqrt{50} $

3) $ 2\sqrt{125c} - 4\sqrt{80c} + \frac{1}{7}\sqrt{245c} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{4a} + \sqrt{64a} - \sqrt{9a}$, необходимо вынести множители из-под знака корня для каждого слагаемого. Мы воспользуемся свойством корня $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при условии, что $a \ge 0$).

Первый член: $\sqrt{4a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$.

Второй член: $\sqrt{64a} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a} = 8\sqrt{a}$.

Третий член: $\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$2\sqrt{a} + 8\sqrt{a} - 3\sqrt{a}$

Все члены выражения содержат общий множитель $\sqrt{a}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(2 + 8 - 3)\sqrt{a} = (10 - 3)\sqrt{a} = 7\sqrt{a}$.

Ответ: $7\sqrt{a}$

2) Упростим выражение $\sqrt{98} + \sqrt{242} - \sqrt{50}$. Для этого разложим каждое подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы один из множителей был полным квадратом.

Разложим 98: $98 = 49 \cdot 2 = 7^2 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.

Разложим 242: $242 = 121 \cdot 2 = 11^2 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{2} = 11\sqrt{2}$.

Разложим 50: $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$7\sqrt{2} + 11\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:

$(7 + 11 - 5)\sqrt{2} = (18 - 5)\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$.

Ответ: $13\sqrt{2}$

3) Упростим выражение $2\sqrt{125c} - 4\sqrt{80c} + \frac{1}{7}\sqrt{245c}$. Предполагается, что $c \ge 0$. Как и в предыдущих примерах, вынесем множители-полные квадраты из-под знаков корней.

Разложим подкоренные выражения на множители:

$125 = 25 \cdot 5 = 5^2 \cdot 5$

$80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5$

$245 = 49 \cdot 5 = 7^2 \cdot 5$

Теперь преобразуем каждый член исходного выражения:

$2\sqrt{125c} = 2\sqrt{25 \cdot 5c} = 2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5c} = 2 \cdot 5\sqrt{5c} = 10\sqrt{5c}$.

$-4\sqrt{80c} = -4\sqrt{16 \cdot 5c} = -4 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5c} = -4 \cdot 4\sqrt{5c} = -16\sqrt{5c}$.

$\frac{1}{7}\sqrt{245c} = \frac{1}{7}\sqrt{49 \cdot 5c} = \frac{1}{7} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{5c} = \frac{1}{7} \cdot 7\sqrt{5c} = \sqrt{5c}$.

Соберем все преобразованные части вместе:

$10\sqrt{5c} - 16\sqrt{5c} + \sqrt{5c}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{5c}$ за скобки:

$(10 - 16 + 1)\sqrt{5c} = (-6 + 1)\sqrt{5c} = -5\sqrt{5c}$.

Ответ: $-5\sqrt{5c}$