Номер 105, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 105, страница 77.

Условие.

105. Найдите значение выражения:

1) $\frac{18}{8 - 2\sqrt{7}} - \frac{18}{8 + 2\sqrt{7}};

2) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{8} - 1} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{8} + 1};

3) $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное выражение: $ \frac{18}{8 - 2\sqrt{7}} - \frac{18}{8 + 2\sqrt{7}} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $(8 - 2\sqrt{7})(8 + 2\sqrt{7})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$(8 - 2\sqrt{7})(8 + 2\sqrt{7}) = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.
Теперь преобразуем всё выражение, подставив общий знаменатель:
$ \frac{18(8 + 2\sqrt{7}) - 18(8 - 2\sqrt{7})}{36} $
Вынесем общий множитель 18 в числителе за скобки:
$ \frac{18 \cdot ((8 + 2\sqrt{7}) - (8 - 2\sqrt{7}))}{36} $
Раскроем внутренние скобки в числителе:
$ \frac{18 \cdot (8 + 2\sqrt{7} - 8 + 2\sqrt{7})}{36} = \frac{18 \cdot (4\sqrt{7})}{36} $
Выполним умножение в числителе и сократим дробь:
$ \frac{72\sqrt{7}}{36} = 2\sqrt{7} $.
Ответ: $2\sqrt{7}$.

2) Исходное выражение: $ \frac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{8}} - 1} - \frac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{8}} + 1} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{3 + \sqrt{8}} - 1)(\sqrt{3 + \sqrt{8}} + 1)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $(\sqrt{3 + \sqrt{8}})^2 - 1^2 = (3 + \sqrt{8}) - 1 = 2 + \sqrt{8}$.
Преобразуем всё выражение:
$ \frac{(\sqrt{3 + \sqrt{8}} + 1) - (\sqrt{3 + \sqrt{8}} - 1)}{(\sqrt{3 + \sqrt{8}} - 1)(\sqrt{3 + \sqrt{8}} + 1)} = \frac{\sqrt{3 + \sqrt{8}} + 1 - \sqrt{3 + \sqrt{8}} + 1}{2 + \sqrt{8}} = \frac{2}{2 + \sqrt{8}} $.
Упростим корень в знаменателе: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
$ \frac{2}{2 + 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $1 - \sqrt{2}$:
$ \frac{1 \cdot (1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = -1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 $.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

3) Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})$.
Знаменатель по формуле разности квадратов равен: $(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$.
Преобразуем выражение, записав его с общим знаменателем:
$ \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{2})^2}{5} $.
Для упрощения числителя воспользуемся тождеством $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$.
Пусть $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{2}$. Тогда числитель равен:
$ 2((\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2) = 2(7+2) = 2 \cdot 9 = 18 $.
Подставим полученное значение числителя в выражение:
$ \frac{18}{5} $.
Ответ: $\frac{18}{5}$.