Номер 109, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 109, страница 77.

Условие.

109. Сравните:

1) $ \sqrt{52} $ и $ \sqrt{47} $;

2) $ \sqrt{2,4} $ и $ \sqrt{2,6} $;

3) $ 5 $ и $ \sqrt{23} $;

4) $ 1 $ и $ \sqrt{\frac{5}{6}} $;

5) $ -4 $ и $ -\sqrt{15} $;

6) $ 7\sqrt{2} $ и $ \sqrt{95} $;

7) $ 6\sqrt{3} $ и $ 8\sqrt{2} $;

8) $ 0,7\sqrt{1\frac{3}{7}} $ и $ \sqrt{0,8} $;

9) $ \frac{5}{6}\sqrt{14\frac{2}{5}} $ и $ \frac{2}{3}\sqrt{22\frac{1}{2}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{52}$ и $\sqrt{47}$ достаточно сравнить их подкоренные выражения, так как функция квадратного корня является возрастающей для неотрицательных чисел. Сравниваем числа 52 и 47. Поскольку $52 > 47$, то и $\sqrt{52} > \sqrt{47}$.

Ответ: $\sqrt{52} > \sqrt{47}$.

2) Сравниваем подкоренные выражения 2,4 и 2,6. Так как $2,4 < 2,6$, то, аналогично предыдущему пункту, $\sqrt{2,4} < \sqrt{2,6}$.

Ответ: $\sqrt{2,4} < \sqrt{2,6}$.

3) Чтобы сравнить 5 и $\sqrt{23}$, представим число 5 в виде квадратного корня. $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$. Теперь сравним $\sqrt{25}$ и $\sqrt{23}$. Так как $25 > 23$, то $\sqrt{25} > \sqrt{23}$, а это значит, что $5 > \sqrt{23}$.

Ответ: $5 > \sqrt{23}$.

4) Представим число 1 в виде квадратного корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{1}$ и $\sqrt{\frac{5}{6}}$. Сравниваем подкоренные выражения: $1$ и $\frac{5}{6}$. Поскольку $1 = \frac{6}{6}$, а $\frac{6}{6} > \frac{5}{6}$, то $1 > \frac{5}{6}$. Следовательно, $\sqrt{1} > \sqrt{\frac{5}{6}}$, то есть $1 > \sqrt{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $1 > \sqrt{\frac{5}{6}}$.

5) Сравним сначала положительные числа 4 и $\sqrt{15}$. Представим 4 как $\sqrt{16}$. Так как $16 > 15$, то $\sqrt{16} > \sqrt{15}$, или $4 > \sqrt{15}$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (-1), знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $4 > \sqrt{15}$ следует, что $-4 < -\sqrt{15}$.

Ответ: $-4 < -\sqrt{15}$.

6) Чтобы сравнить $7\sqrt{2}$ и $\sqrt{95}$, внесем множитель 7 под знак корня в первом выражении: $7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$. Теперь сравним $\sqrt{98}$ и $\sqrt{95}$. Так как $98 > 95$, то $\sqrt{98} > \sqrt{95}$, а значит $7\sqrt{2} > \sqrt{95}$.

Ответ: $7\sqrt{2} > \sqrt{95}$.

7) Внесем множители под знак корня в обоих выражениях, чтобы сравнить их.
Для первого выражения: $6\sqrt{3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}$.
Для второго выражения: $8\sqrt{2} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{128}$.
Теперь сравним $\sqrt{108}$ и $\sqrt{128}$. Так как $108 < 128$, то $\sqrt{108} < \sqrt{128}$, следовательно, $6\sqrt{3} < 8\sqrt{2}$.

Ответ: $6\sqrt{3} < 8\sqrt{2}$.

8) Преобразуем первое выражение $0,7\sqrt{1\frac{3}{7}}$. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$. Затем внесем множитель 0,7 под знак корня: $0,7\sqrt{\frac{10}{7}} = \sqrt{(0,7)^2 \cdot \frac{10}{7}} = \sqrt{0,49 \cdot \frac{10}{7}}$. Вычислим подкоренное выражение: $0,49 \cdot \frac{10}{7} = \frac{49}{100} \cdot \frac{10}{7} = \frac{7 \cdot 1}{10 \cdot 1} = 0,7$. Таким образом, первое выражение равно $\sqrt{0,7}$. Теперь сравним $\sqrt{0,7}$ и $\sqrt{0,8}$. Поскольку $0,7 < 0,8$, то $\sqrt{0,7} < \sqrt{0,8}$.

Ответ: $0,7\sqrt{1\frac{3}{7}} < \sqrt{0,8}$.

9) Преобразуем оба выражения, внеся множители под знак корня.
Для первого выражения $\frac{5}{6}\sqrt{14\frac{2}{5}}$:
$14\frac{2}{5} = \frac{14 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{72}{5}$.
$\frac{5}{6}\sqrt{\frac{72}{5}} = \sqrt{(\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{72}{5}} = \sqrt{\frac{25}{36} \cdot \frac{72}{5}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 72}{36 \cdot 5}} = \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{10}$.
Для второго выражения $\frac{2}{3}\sqrt{22\frac{1}{2}}$:
$22\frac{1}{2} = \frac{22 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{45}{2}$.
$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{45}{2}} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{45}{2}} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot \frac{45}{2}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 45}{9 \cdot 2}} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$.
Так как оба выражения равны $\sqrt{10}$, то они равны между собой.

Ответ: $\frac{5}{6}\sqrt{14\frac{2}{5}} = \frac{2}{3}\sqrt{22\frac{1}{2}}$.