Номер 104, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{8}{\sqrt{13}}$;2) $\frac{48}{\sqrt{6}}$;3) $\frac{27}{2\sqrt{3}}$;4) $\frac{b^5}{c\sqrt{b}};

5) $\frac{a-7}{\sqrt{a-7}}$;6) $\frac{1}{\sqrt{33}+1}$;7) $\frac{41}{\sqrt{47}-\sqrt{6}}$;8) $\frac{17}{\sqrt{39}+\sqrt{5}};

9) $\frac{x-7}{\sqrt{x+18}-5}$;10) $\frac{x^2-9x}{\sqrt{x+7}-4}$;11) $\frac{x^2-64}{4+\sqrt{x+8}}$;12) $\frac{m}{\sqrt{11+5m}-\sqrt{3m+11}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8}{\sqrt{13}}$, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$:
$\frac{8}{\sqrt{13}} = \frac{8 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{8\sqrt{13}}{13}$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{13}}{13}$.

2) Чтобы избавиться от корня в знаменателе дроби $\frac{48}{\sqrt{6}}$, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$ и упростим:
$\frac{48}{\sqrt{6}} = \frac{48 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{48\sqrt{6}}{6} = 8\sqrt{6}$.
Ответ: $8\sqrt{6}$.

3) Для дроби $\frac{27}{2\sqrt{3}}$ домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{27}{2\sqrt{3}} = \frac{27 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{27\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{27\sqrt{3}}{6}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$.

4) В выражении $\frac{b^5}{c\sqrt{b}}$ домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$ (при условии $b > 0, c \neq 0$):
$\frac{b^5}{c\sqrt{b}} = \frac{b^5 \cdot \sqrt{b}}{c\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{b^5\sqrt{b}}{cb}$.
Сократим на $b$: $\frac{b^4\sqrt{b}}{c}$.
Ответ: $\frac{b^4\sqrt{b}}{c}$.

5) В дроби $\frac{a-7}{\sqrt{a-7}}$ представим числитель как $(\sqrt{a-7})^2$ (при $a > 7$):
$\frac{a-7}{\sqrt{a-7}} = \frac{(\sqrt{a-7})^2}{\sqrt{a-7}} = \sqrt{a-7}$.
Альтернативный способ: домножить числитель и знаменатель на $\sqrt{a-7}$: $\frac{(a-7)\sqrt{a-7}}{\sqrt{a-7}\sqrt{a-7}} = \frac{(a-7)\sqrt{a-7}}{a-7} = \sqrt{a-7}$.
Ответ: $\sqrt{a-7}$.

6) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{33}+1}$, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{33}-1$. Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$\frac{1}{\sqrt{33}+1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{33}-1)}{(\sqrt{33}+1)(\sqrt{33}-1)} = \frac{\sqrt{33}-1}{(\sqrt{33})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{33}-1}{33-1} = \frac{\sqrt{33}-1}{32}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{33}-1}{32}$.

7) Для дроби $\frac{41}{\sqrt{47}-\sqrt{6}}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{47}+\sqrt{6}$:
$\frac{41}{\sqrt{47}-\sqrt{6}} = \frac{41(\sqrt{47}+\sqrt{6})}{(\sqrt{47}-\sqrt{6})(\sqrt{47}+\sqrt{6})} = \frac{41(\sqrt{47}+\sqrt{6})}{(\sqrt{47})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{41(\sqrt{47}+\sqrt{6})}{47-6} = \frac{41(\sqrt{47}+\sqrt{6})}{41}$.
Сократим на 41: $\sqrt{47}+\sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{47}+\sqrt{6}$.

8) Для дроби $\frac{17}{\sqrt{39}+\sqrt{5}}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{39}-\sqrt{5}$:
$\frac{17}{\sqrt{39}+\sqrt{5}} = \frac{17(\sqrt{39}-\sqrt{5})}{(\sqrt{39}+\sqrt{5})(\sqrt{39}-\sqrt{5})} = \frac{17(\sqrt{39}-\sqrt{5})}{(\sqrt{39})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{17(\sqrt{39}-\sqrt{5})}{39-5} = \frac{17(\sqrt{39}-\sqrt{5})}{34}$.
Сократим дробь на 17: $\frac{\sqrt{39}-\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{39}-\sqrt{5}}{2}$.

9) Для дроби $\frac{x-7}{\sqrt{x+18}-5}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{x+18}+5$ (при $x+18 \ge 0$ и $x \ne 7$):
$\frac{x-7}{\sqrt{x+18}-5} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+18}+5)}{(\sqrt{x+18}-5)(\sqrt{x+18}+5)} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+18}+5)}{(\sqrt{x+18})^2 - 5^2} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+18}+5)}{(x+18)-25} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+18}+5)}{x-7}$.
Сократим на $x-7$: $\sqrt{x+18}+5$.
Ответ: $\sqrt{x+18}+5$.

10) Для дроби $\frac{x^2-9x}{\sqrt{x+7}-4}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{x+7}+4$ (при $x+7 \ge 0$ и $x \ne 9$). Сначала разложим числитель на множители $x^2-9x=x(x-9)$:
$\frac{x(x-9)}{\sqrt{x+7}-4} = \frac{x(x-9)(\sqrt{x+7}+4)}{(\sqrt{x+7}-4)(\sqrt{x+7}+4)} = \frac{x(x-9)(\sqrt{x+7}+4)}{(\sqrt{x+7})^2 - 4^2} = \frac{x(x-9)(\sqrt{x+7}+4)}{(x+7)-16} = \frac{x(x-9)(\sqrt{x+7}+4)}{x-9}$.
Сократим на $x-9$: $x(\sqrt{x+7}+4)$.
Ответ: $x(\sqrt{x+7}+4)$.

11) Для дроби $\frac{x^2-64}{4+\sqrt{x+8}}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $4-\sqrt{x+8}$ (при $x+8 \ge 0$). Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2-64=(x-8)(x+8)$:
$\frac{(x-8)(x+8)}{4+\sqrt{x+8}} = \frac{(x-8)(x+8)(4-\sqrt{x+8})}{(4+\sqrt{x+8})(4-\sqrt{x+8})} = \frac{(x-8)(x+8)(4-\sqrt{x+8})}{4^2 - (\sqrt{x+8})^2} = \frac{(x-8)(x+8)(4-\sqrt{x+8})}{16-(x+8)} = \frac{(x-8)(x+8)(4-\sqrt{x+8})}{8-x}$.
Вынесем минус в знаменателе: $\frac{(x-8)(x+8)(4-\sqrt{x+8})}{-(x-8)}$.
Сократим на $x-8$: $-(x+8)(4-\sqrt{x+8})$, что равносильно $(x+8)(\sqrt{x+8}-4)$.
Ответ: $(x+8)(\sqrt{x+8}-4)$.

12) Для дроби $\frac{m}{\sqrt{11+5m}-\sqrt{3m+11}}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11}$ (при $11+5m \ge 0$, $3m+11 \ge 0$ и $m \ne 0$):
$\frac{m(\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11})}{(\sqrt{11+5m}-\sqrt{3m+11})(\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11})} = \frac{m(\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11})}{(\sqrt{11+5m})^2-(\sqrt{3m+11})^2} = \frac{m(\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11})}{(11+5m)-(3m+11)} = \frac{m(\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11})}{2m}$.
Сократим на $m$: $\frac{\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{11+5m}+\sqrt{3m+11}}{2}$.