Номер 97, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 97, страница 75.

Условие.

97. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{11x^2}$, если $x \geq 0$;

2) $\sqrt{13y^2}$, если $y \leq 0$;

3) $\sqrt{20c^{12}};

4) $\sqrt{x^{17}};

5) $\sqrt{-c^{15}};

6) $\sqrt{m^{16}n^3}$, если $m \neq 0$;

7) $\sqrt{49bc^2}$, если $c < 0$;

8) $\sqrt{x^{11}y^{11}}$, если $x \leq 0, y \leq 0$;

9) $\sqrt{64x^7y^{26}}$, если $y > 0$;

10) $\sqrt{700m^{18}n^{19}}$, если $m < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{11x^2} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{x^2}$.
По определению квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому выражение преобразуется к виду $|x|\sqrt{11}$.
Так как по условию $x \ge 0$, то $|x| = x$.
В результате получаем $x\sqrt{11}$.
Ответ: $x\sqrt{11}$

2) Аналогично предыдущему пункту, $\sqrt{13y^2} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{y^2} = |y|\sqrt{13}$.
По условию $y \le 0$, поэтому модуль неположительного числа $|y|$ равен $-y$.
В результате получаем $-y\sqrt{13}$.
Ответ: $-y\sqrt{13}$

3) Разложим подкоренное выражение на множители: $20 = 4 \cdot 5$ и $c^{12} = (c^6)^2$.
$\sqrt{20c^{12}} = \sqrt{4 \cdot 5 \cdot (c^6)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(c^6)^2} \cdot \sqrt{5} = 2|c^6|\sqrt{5}$.
Поскольку степень 6 является четной, выражение $c^6$ всегда неотрицательно ($c^6 \ge 0$) для любого действительного $c$.
Следовательно, $|c^6| = c^6$.
В результате получаем $2c^6\sqrt{5}$.
Ответ: $2c^6\sqrt{5}$

4) Выражение $\sqrt{x^{17}}$ определено при $x^{17} \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.
Представим $x^{17}$ как $x^{16} \cdot x$.
$\sqrt{x^{17}} = \sqrt{x^{16} \cdot x} = \sqrt{x^{16}} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{(x^8)^2} \cdot \sqrt{x} = |x^8|\sqrt{x}$.
Так как степень 8 четная, $x^8 \ge 0$ для любого $x$, поэтому $|x^8| = x^8$.
В результате получаем $x^8\sqrt{x}$.
Ответ: $x^8\sqrt{x}$

5) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-c^{15} \ge 0$, что равносильно $c^{15} \le 0$. Это неравенство выполняется при $c \le 0$.
Представим $-c^{15}$ как $c^{14} \cdot (-c)$.
$\sqrt{-c^{15}} = \sqrt{c^{14} \cdot (-c)} = \sqrt{c^{14}} \cdot \sqrt{-c} = \sqrt{(c^7)^2} \cdot \sqrt{-c} = |c^7|\sqrt{-c}$.
Поскольку $c \le 0$, его нечетная степень $c^7$ также будет неположительной ($c^7 \le 0$).
Следовательно, $|c^7| = -c^7$.
В результате получаем $-c^7\sqrt{-c}$.
Ответ: $-c^7\sqrt{-c}$

6) Для существования корня необходимо, чтобы $m^{16}n^3 \ge 0$. Так как $m \ne 0$, $m^{16}$ всегда положительно ($m^{16} > 0$). Значит, $n^3 \ge 0$, что равносильно $n \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение: $\sqrt{m^{16}n^3} = \sqrt{m^{16} \cdot n^2 \cdot n}$.
$\sqrt{m^{16} \cdot n^2 \cdot n} = \sqrt{m^{16}} \cdot \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{n} = |m^8| \cdot |n| \cdot \sqrt{n}$.
$m^8$ всегда неотрицательно, поэтому $|m^8|=m^8$.
Мы установили, что $n \ge 0$, поэтому $|n|=n$.
В результате получаем $m^8n\sqrt{n}$.
Ответ: $m^8n\sqrt{n}$

7) Для существования корня необходимо, чтобы $49bc^2 \ge 0$. Так как $49 > 0$ и $c^2 > 0$ (поскольку $c < 0$), то должно выполняться условие $b \ge 0$.
$\sqrt{49bc^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{b} = 7|c|\sqrt{b}$.
По условию $c < 0$, поэтому $|c| = -c$.
В результате получаем $7(-c)\sqrt{b} = -7c\sqrt{b}$.
Ответ: $-7c\sqrt{b}$

8) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^{11}y^{11} = (xy)^{11} \ge 0$, что означает $xy \ge 0$. Условия $x \le 0$ и $y \le 0$ это обеспечивают.
Разложим подкоренное выражение: $\sqrt{x^{11}y^{11}} = \sqrt{x^{10} \cdot x \cdot y^{10} \cdot y} = \sqrt{x^{10}y^{10}} \sqrt{xy}$.
$\sqrt{x^{10}y^{10}} = \sqrt{x^{10}}\sqrt{y^{10}} = |x^5||y^5|$.
Так как $x \le 0$, то $x^5 \le 0$, и $|x^5| = -x^5$.
Так как $y \le 0$, то $y^5 \le 0$, и $|y^5| = -y^5$.
Перемножаем множители: $(-x^5)(-y^5)\sqrt{xy} = x^5y^5\sqrt{xy}$.
Ответ: $x^5y^5\sqrt{xy}$

9) Условие существования корня: $64x^7y^{26} \ge 0$. Так как $y>0$, то $y^{26}>0$. Следовательно, $x^7 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
$\sqrt{64x^7y^{26}} = \sqrt{64 \cdot x^6 \cdot x \cdot y^{26}} = \sqrt{64}\sqrt{x^6}\sqrt{y^{26}}\sqrt{x} = 8|x^3||y^{13}|\sqrt{x}$.
Так как $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, и $|x^3| = x^3$.
Так как $y > 0$, то $y^{13} > 0$, и $|y^{13}| = y^{13}$.
В результате получаем $8x^3y^{13}\sqrt{x}$.
Ответ: $8x^3y^{13}\sqrt{x}$

10) Условие существования корня: $700m^{18}n^{19} \ge 0$. Так как $m < 0$, то $m^{18} > 0$. Следовательно, $n^{19} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение: $\sqrt{700m^{18}n^{19}} = \sqrt{100 \cdot 7 \cdot m^{18} \cdot n^{18} \cdot n}$.
$\sqrt{100 \cdot m^{18} \cdot n^{18} \cdot 7n} = \sqrt{100}\sqrt{m^{18}}\sqrt{n^{18}}\sqrt{7n} = 10|m^9||n^9|\sqrt{7n}$.
Так как $m < 0$, то $m^9 < 0$, и $|m^9| = -m^9$.
Так как $n \ge 0$, то $n^9 \ge 0$, и $|n^9| = n^9$.
Перемножаем: $10(-m^9)(n^9)\sqrt{7n} = -10m^9n^9\sqrt{7n}$.
Ответ: $-10m^9n^9\sqrt{7n}$