Номер 94, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 94, страница 74.

Условие.

94. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - x + 3}$, если $x \geq 0$;

2) $y = \sqrt{x^2 - 3x - 4}$, если $x \leq 0$;

3) $y = \sqrt{x^2 + 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)
Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} - x + 3$ при условии $x \ge 0$.
Поскольку по определению $\sqrt{x^2} = |x|$, мы можем переписать функцию как $y = |x| - x + 3$.
Согласно условию, $x \ge 0$. Для неотрицательных значений $x$ модуль $|x|$ равен самому $x$.
Подставим $|x| = x$ в уравнение функции:
$y = x - x + 3$
$y = 3$
Таким образом, для всех $x \ge 0$ функция является константой $y = 3$. Графиком является горизонтальный луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и идущий вправо.
Ответ: График функции — это луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и идущий параллельно оси абсцисс вправо (часть прямой $y=3$ при $x \ge 0$).

2)
Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} - 3x - 4$ при условии $x \le 0$.
Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, чтобы преобразовать функцию: $y = |x| - 3x - 4$.
По условию, $x \le 0$. Для неположительных значений $x$ модуль $|x|$ равен $-x$.
Подставим $|x| = -x$ в уравнение функции:
$y = (-x) - 3x - 4$
$y = -4x - 4$
Это линейная функция. Нам нужно построить ее график на промежутке $x \le 0$, что представляет собой луч. Найдем две точки для построения.
Начальная точка луча (при $x=0$): $y = -4(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
Возьмем еще одну точку, например, при $x=-1$: $y = -4(-1) - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
Ответ: График функции — это луч, который является частью прямой $y = -4x - 4$ для $x \le 0$. Луч выходит из точки $(0, -4)$ и проходит через точку $(-1, 0)$.

3)
Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} + 2$.
Сначала упростим выражение. Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, функция принимает вид: $y = |x| + 2$.
Эта функция определена для всех действительных чисел $x$.
График функции $y = |x| + 2$ можно получить из графика основной функции $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вверх по оси $Oy$.
График $y = |x|$ — это "галочка" с вершиной в начале координат. После сдвига вершина окажется в точке $(0, 2)$.
Функцию можно также представить в виде кусочно-заданной:
$y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x + 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Это означает, что график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 2)$.
Ответ: График функции — это график модуля $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Он состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 2)$: луча $y = x + 2$ для $x \ge 0$ и луча $y = -x + 2$ для $x < 0$.