Номер 87, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Верно ли утверждение:

1) $1 \in N$; 5) $-2,3 \notin N$; 9) $\sqrt{7} \notin R$;

2) $1 \notin Z$; 6) $-2,3 \notin Q$; 10) $\sqrt{49} \notin N$;

3) $1 \in Q$; 7) $-2,3 \in R$; 11) $\sqrt{49} \in Z$;

4) $1 \in R$; 8) $\sqrt{7} \in Q$; 12) $\sqrt{49} \notin Q?$;

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения основных числовых множеств:

• $N$ – множество натуральных чисел. Это числа, используемые при счете: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ – множество целых чисел. Это натуральные числа, им противоположные и ноль: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $Q$ – множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m \in Z, n \in N$.
• $R$ – множество действительных (вещественных) чисел. Оно включает в себя рациональные и иррациональные числа.

Также важно помнить о соотношении этих множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

1) $1 \in N$

Множество натуральных чисел $N$ начинается с 1. Это числа, которые мы используем для счета предметов. Таким образом, 1 является натуральным числом.

Ответ: Верно.

2) $1 \notin Z$

Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа. Так как 1 — это натуральное число, оно также является и целым. Утверждение, что 1 не принадлежит множеству целых чисел, неверно.

Ответ: Неверно.

3) $1 \in Q$

Множество рациональных чисел $Q$ включает все числа, которые можно представить в виде дроби. Число 1 можно представить как дробь, например, $1/1$. Следовательно, 1 — рациональное число.

Ответ: Верно.

4) $1 \in R$

Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные числа. Так как 1 — рациональное число, оно также является и действительным.

Ответ: Верно.

5) $-2,3 \notin N$

Натуральные числа — это целые положительные числа. Число -2,3 является отрицательным и дробным, поэтому оно не может быть натуральным.

Ответ: Верно.

6) $-2,3 \notin Q$

Число -2,3 является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби: $-2,3 = -23/10$. Так как число представимо в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное, оно является рациональным. Утверждение, что -2,3 не является рациональным, неверно.

Ответ: Неверно.

7) $-2,3 \in R$

Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные числа. Так как -2,3 — рациональное число, оно также является и действительным.

Ответ: Верно.

8) $\sqrt{7} \in Q$

Квадратный корень из 7 является иррациональным числом, так как 7 не является полным квадратом целого числа. Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби $m/n$. Следовательно, $\sqrt{7}$ не принадлежит множеству рациональных чисел $Q$.

Ответ: Неверно.

9) $\sqrt{7} \notin R$

Множество действительных чисел $R$ состоит из рациональных и иррациональных чисел. Поскольку $\sqrt{7}$ — иррациональное число, оно входит в множество действительных чисел. Утверждение, что $\sqrt{7}$ не принадлежит $R$, неверно.

Ответ: Неверно.

10) $\sqrt{49} \notin N$

Сначала вычислим значение выражения: $\sqrt{49} = 7$. Число 7 является натуральным числом. Утверждение, что 7 не принадлежит множеству натуральных чисел, неверно.

Ответ: Неверно.

11) $\sqrt{49} \in Z$

Мы знаем, что $\sqrt{49} = 7$. Число 7 является целым числом, так как множество целых чисел $Z$ включает все натуральные числа.

Ответ: Верно.

12) $\sqrt{49} \notin Q$

Как мы уже выяснили, $\sqrt{49} = 7$. Любое целое число является рациональным, так как его можно записать в виде дроби (например, $7 = 7/1$). Следовательно, $\sqrt{49}$ принадлежит множеству рациональных чисел $Q$. Утверждение, что $\sqrt{49}$ не принадлежит $Q$, неверно.

Ответ: Неверно.