Номер 82, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Равны ли множества $A$ и $B$, если:

1) $A = \{8, 12\}$, $B = \{12, 8\}$;

2) $A = \{\{(8; 12)\}\}$, $B = \{\{(12; 8)\}\}$;

3) $A$ — множество корней уравнения $x^2 + 9 = 0$, $B = \{-3, 3\}$;

4) $A$ — множество равнобоких трапеций, $B$ — множество трапеций, около которых можно описать окружность?

72

Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Порядок элементов в множестве не имеет значения.

1) $A = \{8, 12\}, B = \{12, 8\}$

Множество $A$ состоит из элементов 8 и 12. Множество $B$ состоит из элементов 12 и 8. Так как порядок элементов в множестве не важен, а сами элементы в обоих множествах совпадают, то множества $A$ и $B$ равны.

Ответ: Да, множества равны.

2) $A = \{(8; 12)\}, B = \{(12; 8)\}$

В данном случае элементами множеств являются не числа, а упорядоченные пары (кортежи). Множество $A$ содержит один элемент — упорядоченную пару $(8; 12)$. Множество $B$ также содержит один элемент — упорядоченную пару $(12; 8)$. Упорядоченные пары $(a; b)$ и $(c; d)$ равны тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$. Поскольку $8 \neq 12$, то $(8; 12) \neq (12; 8)$. Следовательно, множества $A$ и $B$ состоят из разных элементов и не являются равными.

Ответ: Нет, множества не равны.

3) $A$ — множество корней уравнения $x^2 + 9 = 0$, $B = \{-3, 3\}$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9 = 0$. Перенесем 9 в правую часть: $x^2 = -9$. В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, множество $A$ является пустым множеством: $A = \emptyset$. Множество $B$ состоит из двух элементов: -3 и 3. Пустое множество не равно множеству, содержащему два элемента.
(Даже если рассматривать комплексные числа, корнями уравнения будут $x = \pm 3i$, то есть $A = \{-3i, 3i\}$, что все равно не равно множеству $B$).

Ответ: Нет, множества не равны.

4) $A$ — множество равнобоких трапеций, $B$ — множество трапеций, около которых можно описать окружность.

Для решения этой задачи нужно использовать свойство вписанного четырехугольника. Четырехугольник можно вписать в окружность (описать окружность около него) тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Докажем, что множества $A$ и $B$ равны, показав, что любое свойство влечет за собой другое.

1. Любая равнобокая трапеция может быть вписана в окружность.
В равнобокой трапеции углы при любом основании равны. Пусть углы при одном основании равны $\alpha$, а при другом $\beta$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Противолежащие углы в равнобокой трапеции это как раз $\alpha$ и $\beta$. Так как их сумма равна $180^\circ$, то около любой равнобокой трапеции можно описать окружность. Это значит, что любая равнобокая трапеция принадлежит множеству $B$.

2. Любая трапеция, вписанная в окружность, является равнобокой.
Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда сумма ее противолежащих углов равна $180^\circ$. Пусть углы при нижнем основании равны $\alpha_1$ и $\alpha_2$, а при верхнем — $\beta_1$ и $\beta_2$. Тогда $\alpha_1 + \beta_2 = 180^\circ$. В то же время, так как это трапеция, сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$, то есть $\alpha_1 + \beta_1 = 180^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\beta_1 = \beta_2$. Аналогично доказывается, что $\alpha_1 = \alpha_2$. Так как углы при основаниях равны, трапеция является равнобокой. Это значит, что любая трапеция из множества $B$ принадлежит и множеству $A$.

Поскольку каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$, то эти множества равны.

Ответ: Да, множества равны.