Номер 76, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 76, страница 72.

Условие.

76. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 = a + 7$:

1) имеет два корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение $x^2 = a + 7$ является простейшим квадратным уравнением. Количество его действительных корней зависит от знака выражения, стоящего в правой части, то есть от $a+7$.

Давайте проанализируем каждый случай отдельно.

1) имеет два корня;

Уравнение вида $x^2 = C$ имеет два различных корня ($x = \sqrt{C}$ и $x = -\sqrt{C}$), когда значение $C$ строго положительно. В нашем случае $C = a + 7$.

Следовательно, для того чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство:

$a + 7 > 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a > -7$

Это означает, что при любом значении $a$, которое больше -7, уравнение будет иметь два корня.

Ответ: $a > -7$.

2) имеет один корень;

Уравнение вида $x^2 = C$ имеет ровно один корень, только если $C = 0$. В этом случае корень равен нулю ($x = 0$).

Приравняем правую часть нашего уравнения к нулю:

$a + 7 = 0$

Решим это уравнение относительно $a$:

$a = -7$

При $a = -7$ уравнение принимает вид $x^2 = 0$, и его единственный корень – $x=0$.

Ответ: $a = -7$.

3) не имеет корней?

Уравнение вида $x^2 = C$ не имеет действительных корней, если значение $C$ отрицательно, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Значит, для отсутствия корней должно выполняться неравенство:

$a + 7 < 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a < -7$

Таким образом, если значение $a$ меньше -7, уравнение не будет иметь действительных корней.

Ответ: $a < -7$.