Номер 72, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите значение выражения:

1) $(\sqrt{11})^2 - \sqrt{1,44};$

2) $(2\sqrt{13})^2 - (5\sqrt{8})^2;$

3) $14 \cdot \left(-\frac{1}{7}\sqrt{15}\right)^2 - \frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{6})^2;$

4) $\sqrt{529} - \left(\frac{1}{2}\sqrt{84}\right)^2.$

1) $(\sqrt{11})^2 - \sqrt{1,44}$

Чтобы найти значение этого выражения, нужно выполнить действия в правильном порядке. Сначала вычислим каждый член выражения отдельно.

Первый член — это $(\sqrt{11})^2$. По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ верно равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. Следовательно, $(\sqrt{11})^2 = 11$.

Второй член — это $\sqrt{1,44}$. Нам нужно найти число, квадрат которого равен $1,44$. Мы знаем, что $12^2 = 144$, значит $1,2^2 = 1,44$. Таким образом, $\sqrt{1,44} = 1,2$.

Теперь выполним вычитание: $11 - 1,2 = 9,8$.

Полное решение выглядит так:

$(\sqrt{11})^2 - \sqrt{1,44} = 11 - 1,2 = 9,8$.

Ответ: $9,8$.

2) $(2\sqrt{13})^2 - (5\sqrt{8})^2$

Для вычисления этого выражения воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.

Вычислим значение первого члена, $(2\sqrt{13})^2$:

$(2\sqrt{13})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52$.

Теперь вычислим значение второго члена, $(5\sqrt{8})^2$:

$(5\sqrt{8})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 25 \cdot 8 = 200$.

Наконец, выполним вычитание результатов:

$52 - 200 = -148$.

Полное решение:

$(2\sqrt{13})^2 - (5\sqrt{8})^2 = 52 - 200 = -148$.

Ответ: $-148$.

3) $14 \cdot (-\frac{1}{7}\sqrt{15})^2 - \frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{6})^2$

Решим это выражение по частям, соблюдая порядок действий.

Сначала вычислим первое слагаемое: $14 \cdot (-\frac{1}{7}\sqrt{15})^2$.

Возведем в квадрат выражение в скобках: $(-\frac{1}{7}\sqrt{15})^2 = (-\frac{1}{7})^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = \frac{1}{49} \cdot 15 = \frac{15}{49}$.

Теперь умножим результат на 14 и сократим дробь: $14 \cdot \frac{15}{49} = \frac{14 \cdot 15}{49} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 15}{7 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 15}{7} = \frac{30}{7}$.

Теперь вычислим второе слагаемое: $\frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{6})^2$.

Возведем в квадрат выражение в скобках: $(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

Умножим результат на $\frac{1}{8}$: $\frac{1}{8} \cdot 24 = \frac{24}{8} = 3$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{30}{7} - 3$. Приведем 3 к знаменателю 7: $3 = \frac{3 \cdot 7}{7} = \frac{21}{7}$.

$\frac{30}{7} - \frac{21}{7} = \frac{30 - 21}{7} = \frac{9}{7}$.

Ответ: $\frac{9}{7}$.

4) $\sqrt{529} - (\frac{1}{2}\sqrt{84})^2$

Найдем значение выражения, вычислив каждый его член.

Первый член — это $\sqrt{529}$. Чтобы найти его значение, можно воспользоваться таблицей квадратов или методом подбора. Мы знаем, что $20^2=400$ и $30^2=900$. Искомое число находится между 20 и 30. Так как число 529 оканчивается на 9, его корень должен оканчиваться на 3 или 7. Проверим число 23: $23^2 = 23 \cdot 23 = 529$. Следовательно, $\sqrt{529} = 23$.

Второй член — это $(\frac{1}{2}\sqrt{84})^2$. Возведем его в квадрат:

$(\frac{1}{2}\sqrt{84})^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (\sqrt{84})^2 = \frac{1}{4} \cdot 84 = \frac{84}{4} = 21$.

Теперь выполним вычитание:

$23 - 21 = 2$.

Полное решение:

$\sqrt{529} - (\frac{1}{2}\sqrt{84})^2 = 23 - 21 = 2$.

Ответ: $2$.