Номер 73, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 73, страница 71.

Условие.

73. При каких значениях a имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{a-9}$;

2) $\sqrt{2-a}$;

3) $\sqrt{(a-6)^2}$;

4) $\sqrt{a^8+1}$;

5) $\sqrt{-a-6}$;

6) $\sqrt{-(a-6)^{12}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл в области действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (больше или равно нулю).

1) $\sqrt{a-9}$

Подкоренное выражение $(a-9)$ должно быть больше или равно нулю. Решим соответствующее неравенство:

$a - 9 \ge 0$

Перенесем -9 в правую часть неравенства, изменив знак:

$a \ge 9$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, которые больше или равны 9.

Ответ: $a \ge 9$, или в виде промежутка $a \in [9; +\infty)$.

2) $\sqrt{2-a}$

Подкоренное выражение $(2-a)$ должно быть больше или равно нулю:

$2 - a \ge 0$

Перенесем $-a$ в правую часть:

$2 \ge a$, что эквивалентно $a \le 2$.

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, которые меньше или равны 2.

Ответ: $a \le 2$, или в виде промежутка $a \in (-\infty; 2]$.

3) $\sqrt{(a-6)^2}$

Подкоренное выражение $(a-6)^2$ должно быть больше или равно нулю. Так как любое действительное число, возведенное в квадрат (четную степень), является неотрицательным, неравенство

$(a-6)^2 \ge 0$

выполняется для любого действительного значения $a$.

Ответ: $a$ - любое действительное число, или $a \in (-\infty; +\infty)$.

4) $\sqrt{a^8+1}$

Подкоренное выражение $(a^8+1)$ должно быть больше или равно нулю. Выражение $a^8$ всегда неотрицательно, так как $a$ возводится в четную степень: $a^8 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет строго положительным:

$a^8 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^8 + 1 \ge 1$.

Поскольку $1>0$, условие $a^8+1 \ge 0$ выполняется при любом действительном $a$.

Ответ: $a$ - любое действительное число, или $a \in (-\infty; +\infty)$.

5) $\sqrt{-a-6}$

Подкоренное выражение $(-a-6)$ должно быть больше или равно нулю:

$-a - 6 \ge 0$

Перенесем -6 в правую часть:

$-a \ge 6$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$a \le -6$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, которые меньше или равны -6.

Ответ: $a \le -6$, или в виде промежутка $a \in (-\infty; -6]$.

6) $\sqrt{-(a-6)^{12}}$

Подкоренное выражение $-(a-6)^{12}$ должно быть больше или равно нулю:

$-(a-6)^{12} \ge 0$

Выражение $(a-6)^{12}$ всегда неотрицательно, так как это степень с четным показателем: $(a-6)^{12} \ge 0$.

Если умножить неотрицательное выражение на -1, результат будет неположительным (меньше или равен нулю): $-(a-6)^{12} \le 0$.

Таким образом, мы имеем два условия: $-(a-6)^{12} \ge 0$ и $-(a-6)^{12} \le 0$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это 0. Значит, подкоренное выражение должно быть равно нулю:

$-(a-6)^{12} = 0$

$(a-6)^{12} = 0$

$a-6 = 0$

$a = 6$

Следовательно, выражение имеет смысл только при одном значении $a$.

Ответ: $a=6$.