Номер 66, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 66, страница 70.

Условие.

66. Постройте график функции:

1) $y = \frac{6x - 12}{x^2 - 2x}$;

2) $y = \frac{7x^2 - 7}{x - x^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \frac{6x - 12}{x^2 - 2x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x^2 - 2x \neq 0$
$x(x - 2) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$y = \frac{6(x - 2)}{x(x - 2)}$
При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:
$y = \frac{6}{x}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{6}{x}$ за исключением точки, где $x = 2$. Графиком функции $y = \frac{6}{x}$ является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим значение $x = 2$ в упрощенную функцию:
$y = \frac{6}{2} = 3$
Следовательно, точка с координатами $(2; 3)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(2; 3)$.

2) $y = \frac{7x^2 - 7}{x - x^3}$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x - x^3 \neq 0$
$x(1 - x^2) \neq 0$
$x(1 - x)(1 + x) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $7x^2 - 7 = 7(x^2 - 1) = 7(x-1)(x+1)$.
Знаменатель: $x - x^3 = x(1 - x^2) = -x(x^2 - 1) = -x(x-1)(x+1)$.
$y = \frac{7(x-1)(x+1)}{-x(x-1)(x+1)}$

При $x \neq 1$ и $x \neq -1$ мы можем сократить дробь на $(x-1)$ и $(x+1)$:
$y = \frac{7}{-x} = -\frac{7}{x}$

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{7}{x}$ за исключением точек, где $x = 1$ и $x = -1$. Графиком функции $y = -\frac{7}{x}$ является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Найдем координаты "выколотых" точек:
При $x = 1$: $y = -\frac{7}{1} = -7$. Первая выколотая точка: $(1; -7)$.
При $x = -1$: $y = -\frac{7}{-1} = 7$. Вторая выколотая точка: $(-1; 7)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{7}{x}$ с выколотыми точками $(-1; 7)$ и $(1; -7)$.