Номер 64, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 64, страница 70.

Условие.

их пересечения.

64. Постройте график функции $y = \frac{5}{|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы построить график функции $y = \frac{5}{|x|}$, сначала проанализируем её. В знаменателе дроби стоит модуль переменной $x$.

По определению модуля, $|x|$ равен $x$, если $x \ge 0$, и равен $-x$, если $x < 0$. Однако, в нашей функции $x$ не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому мы рассмотрим два случая:

1. Когда $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{5}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветвь которой расположена в первой координатной четверти.
2. Когда $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{5}{-x}$, что то же самое, что и $y = -\frac{5}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветвь которой расположена во второй координатной четверти.

Таким образом, график нашей функции $y = \frac{5}{|x|}$ будет состоять из двух частей:

• ветви гиперболы $y = \frac{5}{x}$ в первой четверти (где $x > 0$);
• ветви гиперболы $y = -\frac{5}{x}$ во второй четверти (где $x < 0$).

Также можно заметить, что функция является чётной, так как $y(-x) = \frac{5}{|-x|} = \frac{5}{|x|} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси $OY$. Поэтому достаточно построить ветвь для $x > 0$ и затем симметрично отразить её относительно оси $OY$.

Для построения ветви при $x > 0$ составим таблицу значений:

$x$	$y = \frac{5}{x}$
1	5
2	2.5
5	1
0.5	10

Благодаря симметрии, для отрицательных значений $x$ получаются те же значения $y$:

$x$	$y = \frac{5}{|x|}$
-1	5
-2	2.5
-5	1
-0.5	10

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавными линиями. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) будут являться асимптотами для графика, то есть кривые будут бесконечно к ним приближаться, но никогда не пересекут.

Ниже представлен график функции:

Ответ: График функции $y = \frac{5}{|x|}$ представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первой и второй координатных четвертях. График симметричен относительно оси ординат ($OY$) и не пересекает оси координат, которые являются его асимптотами. Область определения функции: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (0; +\infty)$.