Номер 57, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 57, страница 69.

Условие.

57. Упростите выражение:

1) $(a^{-6} + 3)(a^{-6} - 3) - (a^{-6} + 4)^2;$

2) $\frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}};$

3) $\frac{m^{-4} + n^{-6}}{2m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3}} - \frac{n^{-3}}{m^{-2} - n^{-3}};$

4) $\frac{a^{-6} + b^{-6}}{b^{-7}} : \frac{a^{-6}b^{-3} + b^{-9}}{b^{-8}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для первого произведения и формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для второго слагаемого.

$(a^{-6} + 3)(a^{-6} - 3) - (a^{-6} + 4)^2 = ((a^{-6})^2 - 3^2) - ((a^{-6})^2 + 2 \cdot a^{-6} \cdot 4 + 4^2) = (a^{-12} - 9) - (a^{-12} + 8a^{-6} + 16)$.

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^{-12} - 9 - a^{-12} - 8a^{-6} - 16 = (a^{-12} - a^{-12}) - 8a^{-6} - (9 + 16) = -8a^{-6} - 25$.

Ответ: $-8a^{-6} - 25$.

2)

Заметим, что числитель дроби $a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$, где $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.

$a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2} = (a^{-1})^2 + 2(a^{-1})(b^{-1}) + (b^{-1})^2 = (a^{-1} + b^{-1})^2$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь и выполним сокращение:

$\frac{(a^{-1} + b^{-1})^2}{a^{-1} + b^{-1}} = a^{-1} + b^{-1}$.

Ответ: $a^{-1} + b^{-1}$.

3)

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:

$2m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3} = 2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})$.

Выражение принимает вид:

$\frac{m^{-4} + n^{-6}}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})} - \frac{n^{-3}}{m^{-2} - n^{-3}}$.

Общий знаменатель равен $2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $2m^{-2}$:

$\frac{m^{-4} + n^{-6}}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})} - \frac{n^{-3} \cdot 2m^{-2}}{(m^{-2} - n^{-3}) \cdot 2m^{-2}} = \frac{(m^{-4} + n^{-6}) - 2m^{-2}n^{-3}}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})}$.

Упростим числитель:

$m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3} + n^{-6}$.

Этот числитель является полным квадратом разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=m^{-2}$ и $y=n^{-3}$. То есть, $m^{-4} - 2m^{-2}n^{-3} + n^{-6} = (m^{-2} - n^{-3})^2$.

Подставим это в дробь и сократим:

$\frac{(m^{-2} - n^{-3})^2}{2m^{-2}(m^{-2} - n^{-3})} = \frac{m^{-2} - n^{-3}}{2m^{-2}}$.

Ответ: $\frac{m^{-2} - n^{-3}}{2m^{-2}}$.

4)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{a^{-6} + b^{-6}}{b^{-7}} : \frac{a^{-6}b^{-3} + b^{-9}}{b^{-8}} = \frac{a^{-6} + b^{-6}}{b^{-7}} \cdot \frac{b^{-8}}{a^{-6}b^{-3} + b^{-9}}$.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $b^{-3}$ за скобки:

$a^{-6}b^{-3} + b^{-9} = b^{-3}(a^{-6} + b^{-6})$.

Подставим это выражение обратно и произведем сокращение:

$\frac{a^{-6} + b^{-6}}{b^{-7}} \cdot \frac{b^{-8}}{b^{-3}(a^{-6} + b^{-6})} = \frac{1}{b^{-7}} \cdot \frac{b^{-8}}{b^{-3}} = \frac{b^{-8}}{b^{-7} \cdot b^{-3}}$.

Используя свойства степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$), окончательно упростим выражение:

$\frac{b^{-8}}{b^{-7+(-3)}} = \frac{b^{-8}}{b^{-10}} = b^{-8 - (-10)} = b^{-8+10} = b^2$.

Ответ: $b^2$.