Номер 54, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 54, страница 68.

Условие.

54. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{3}x^{-8}y^5 \cdot \frac{3}{4}x^{10}y^{-3}$;

2) $-0,6a^{-5}b^7 \cdot 1,2a^9b^{-6}$;

3) $0,32m^{-8}n^4p^{-10} \cdot 1\frac{1}{8}m^{12}n^{-11}p^8$;

4) $9b^{-9} \cdot (-5b^{-4}c^4)^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $ \frac{2}{3}x^{-8}y^5 \cdot \frac{3}{4}x^{10}y^{-3} $ необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Произведение коэффициентов: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $.
Для переменных используем свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ x^{-8} \cdot x^{10} = x^{-8+10} = x^2 $
$ y^5 \cdot y^{-3} = y^{5+(-3)} = y^{5-3} = y^2 $
Объединив результаты, получаем: $ \frac{1}{2}x^2y^2 $.
Ответ: $ \frac{1}{2}x^2y^2 $

2) Упростим выражение $ -0,6a^{-5}b^7 \cdot 1,2a^9b^{-6} $.
Сначала перемножим числовые коэффициенты: $ -0,6 \cdot 1,2 = -0,72 $.
Затем, используя свойство $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, перемножим степени с одинаковыми основаниями:
$ a^{-5} \cdot a^9 = a^{-5+9} = a^4 $
$ b^7 \cdot b^{-6} = b^{7+(-6)} = b^{7-6} = b^1 = b $
Итоговый результат: $ -0,72a^4b $.
Ответ: $ -0,72a^4b $

3) Упростим выражение $ 0,32m^{-8}n^4p^{-10} \cdot 1\frac{1}{8}m^{12}n^{-11}p^8 $.
Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную для удобства умножения: $ 1\frac{1}{8} = 1 + \frac{1}{8} = 1 + 0,125 = 1,125 $.
Перемножим коэффициенты: $ 0,32 \cdot 1,125 = 0,36 $.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями:
$ m^{-8} \cdot m^{12} = m^{-8+12} = m^4 $
$ n^4 \cdot n^{-11} = n^{4+(-11)} = n^{-7} $
$ p^{-10} \cdot p^8 = p^{-10+8} = p^{-2} $
Объединяем все части: $ 0,36m^4n^{-7}p^{-2} $.
Ответ: $ 0,36m^4n^{-7}p^{-2} $

4) Упростим выражение $ 9b^{-9} \cdot (-5b^{-4}c^4)^{-2} $.
Для начала раскроем скобки, используя свойства степени: $ (ab)^n = a^n b^n $ и $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.
$ (-5b^{-4}c^4)^{-2} = (-5)^{-2} \cdot (b^{-4})^{-2} \cdot (c^4)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} \cdot b^{-4 \cdot (-2)} \cdot c^{4 \cdot (-2)} = \frac{1}{25}b^8c^{-8} $.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$ 9b^{-9} \cdot (\frac{1}{25}b^8c^{-8}) $
Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$ (9 \cdot \frac{1}{25}) \cdot (b^{-9} \cdot b^8) \cdot c^{-8} = \frac{9}{25} \cdot b^{-9+8} \cdot c^{-8} = \frac{9}{25}b^{-1}c^{-8} $.
Ответ: $ \frac{9}{25}b^{-1}c^{-8} $