Номер 52, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 52, страница 68.

Условие.

52. Найдите значение выражения:

1) $19^9 \cdot 19^{-11};$

2) $10^{-20} \cdot 10^{24};$

3) $8^{-13} : 8^{-15};$

4) $7^{-16} \cdot 7^{-17} : 7^{-34};$

5) $(23^{-12})^2 \cdot (23^{-8})^{-3};$

6) $\frac{12^{-8} \cdot (12^{-4})^3}{(12^{-2})^9 \cdot 12^{-2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения значения выражения $19^9 \cdot 19^{-11}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$19^9 \cdot 19^{-11} = 19^{9 + (-11)} = 19^{9-11} = 19^{-2}$.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$19^{-2} = \frac{1}{19^2} = \frac{1}{361}$.
Ответ: $\frac{1}{361}$.

2) Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$10^{-20} \cdot 10^{24} = 10^{-20 + 24} = 10^4$.
$10^4 = 10000$.
Ответ: $10000$.

3) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$8^{-13} : 8^{-15} = 8^{-13 - (-15)} = 8^{-13 + 15} = 8^2$.
$8^2 = 64$.
Ответ: $64$.

4) Выполним действия по порядку, используя свойства степеней с одинаковым основанием.
Сначала умножение $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$7^{-16} \cdot 7^{-17} = 7^{-16 + (-17)} = 7^{-33}$.
Затем деление $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$7^{-33} : 7^{-34} = 7^{-33 - (-34)} = 7^{-33 + 34} = 7^1 = 7$.
Ответ: $7$.

5) Сначала применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю.
$(23^{-12})^2 = 23^{-12 \cdot 2} = 23^{-24}$.
$(23^{-8})^{-3} = 23^{-8 \cdot (-3)} = 23^{24}$.
Теперь перемножим полученные степени, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$23^{-24} \cdot 23^{24} = 23^{-24 + 24} = 23^0$.
Любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$).
$23^0 = 1$.
Ответ: $1$.

6) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства степеней.
Числитель: $12^{-8} \cdot (12^{-4})^3 = 12^{-8} \cdot 12^{-4 \cdot 3} = 12^{-8} \cdot 12^{-12} = 12^{-8 + (-12)} = 12^{-20}$.
Знаменатель: $(12^{-2})^9 \cdot 12^{-2} = 12^{-2 \cdot 9} \cdot 12^{-2} = 12^{-18} \cdot 12^{-2} = 12^{-18 + (-2)} = 12^{-20}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{12^{-20}}{12^{-20}} = 12^{-20 - (-20)} = 12^{-20+20} = 12^0 = 1$.
Ответ: $1$.