Номер 51, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 51, страница 68.

Условие.

51. Представьте выражение в виде степени с основанием b или произведения степеней с разными основаниями:

1) $b^{-7} \cdot b^{15}$;
2) $b^{6} \cdot b^{-9}$;
3) $b^{-8} \cdot b^{14} \cdot b^{-22}$;
4) $b^{-4} : b^{3}$;
5) $b^{-10} : b^{-16}$;
6) $b^{18} \cdot b^{-27} : b^{11}$;
7) $(b^{-9})^{2}$;
8) $(b^{4})^{-6} \cdot (b^{-3})^{-9} : (b^{-2})^{7}$;
9) $(m^{6}n^{-4}p^{8})^{-5}$;
10) $(a^{5}c^{-7})^{-8} \cdot (a^{-3}c^{-6})^{9}$;
11) $\left(\frac{a^{10}b^{-9}}{c^{3}p^{-2}}\right)^{-11}$;
12) $\left(\frac{m^{9}}{n^{-8}}\right)^{-6} \cdot \left(\frac{m^{-10}}{n^{26}}\right)^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$b^{-7} \cdot b^{15} = b^{-7+15} = b^{8}$.
Ответ: $b^{8}$.

2) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$b^{6} \cdot b^{-9} = b^{6+(-9)} = b^{6-9} = b^{-3}$.
Ответ: $b^{-3}$.

3) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Правило работает для любого количества множителей:
$b^{-8} \cdot b^{14} \cdot b^{-22} = b^{-8+14+(-22)} = b^{6-22} = b^{-16}$.
Ответ: $b^{-16}$.

4) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$b^{-4} : b^{3} = b^{-4-3} = b^{-7}$.
Ответ: $b^{-7}$.

5) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$b^{-10} : b^{-16} = b^{-10 - (-16)} = b^{-10+16} = b^{6}$.
Ответ: $b^{6}$.

6) Выполним действия по порядку. При умножении степеней показатели складываются, а при делении – вычитаются:
$b^{18} \cdot b^{-27} : b^{11} = b^{18+(-27)-11} = b^{-9-11} = b^{-20}$.
Ответ: $b^{-20}$.

7) При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Используем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(b^{-9})^{2} = b^{-9 \cdot 2} = b^{-18}$.
Ответ: $b^{-18}$.

8) Сначала раскроем скобки, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Затем выполним умножение и деление.
$(b^{4})^{-6} \cdot (b^{-3})^{-9} : (b^{-2})^{7} = b^{4 \cdot (-6)} \cdot b^{-3 \cdot (-9)} : b^{-2 \cdot 7} = b^{-24} \cdot b^{27} : b^{-14}$.
Теперь выполним умножение и деление:
$b^{-24+27 - (-14)} = b^{3+14} = b^{17}$.
Ответ: $b^{17}$.

9) Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Используем правило $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(m^{6}n^{-4}p^{8})^{-5} = (m^{6})^{-5} \cdot (n^{-4})^{-5} \cdot (p^{8})^{-5} = m^{6 \cdot (-5)}n^{-4 \cdot (-5)}p^{8 \cdot (-5)} = m^{-30}n^{20}p^{-40}$.
Ответ: $m^{-30}n^{20}p^{-40}$.

10) Сначала раскроем скобки в каждом множителе, перемножая показатели. Затем сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели.
$(a^{5}c^{-7})^{-8} \cdot (a^{-3}c^{-6})^{9} = (a^{5 \cdot (-8)}c^{-7 \cdot (-8)}) \cdot (a^{-3 \cdot 9}c^{-6 \cdot 9}) = (a^{-40}c^{56}) \cdot (a^{-27}c^{-54})$.
Теперь сгруппируем и перемножим:
$(a^{-40} \cdot a^{-27}) \cdot (c^{56} \cdot c^{-54}) = a^{-40+(-27)}c^{56+(-54)} = a^{-67}c^{2}$.
Ответ: $a^{-67}c^{2}$.

11) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Используем правило $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(\frac{a^{10}b^{-9}}{c^{3}p^{-2}})^{-11} = \frac{(a^{10}b^{-9})^{-11}}{(c^{3}p^{-2})^{-11}} = \frac{a^{10 \cdot (-11)}b^{-9 \cdot (-11)}}{c^{3 \cdot (-11)}p^{-2 \cdot (-11)}} = \frac{a^{-110}b^{99}}{c^{-33}p^{22}}$.
Представим выражение в виде произведения, перенеся множитель из знаменателя в числитель и изменив знак его степени:
$a^{-110}b^{99}c^{33}p^{-22}$.
Ответ: $a^{-110}b^{99}c^{33}p^{-22}$.

12) Сначала упростим каждый множитель отдельно, раскрыв скобки.
Первый множитель: $(\frac{m^{9}}{n^{-8}})^{-6} = \frac{(m^{9})^{-6}}{(n^{-8})^{-6}} = \frac{m^{-54}}{n^{48}}$.
Второй множитель: $(\frac{m^{-10}}{n^{26}})^{-2} = \frac{(m^{-10})^{-2}}{(n^{26})^{-2}} = \frac{m^{20}}{n^{-52}}$.
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{m^{-54}}{n^{48}} \cdot \frac{m^{20}}{n^{-52}} = \frac{m^{-54} \cdot m^{20}}{n^{48} \cdot n^{-52}} = \frac{m^{-54+20}}{n^{48-52}} = \frac{m^{-34}}{n^{-4}}$.
Представим в виде произведения степеней: $m^{-34}n^{4}$.
Ответ: $m^{-34}n^{4}$.