Номер 44, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 44, страница 67.

Условие.

44. Найдите значение выражения:

1) $5^{-2} + 10^{-3}$;

2) $\left(\frac{6}{7}\right)^{-1} + 6^{-2} - (-3,5)^0$;

3) $\left(\frac{9}{4}\right)^{-2} \cdot 2^{-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $5^{-2} + 10^{-3}$
Для решения этого выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применим это свойство к каждому слагаемому:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{1}{25} + \frac{1}{1000}$
Приведем дроби к общему знаменателю 1000. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 40:
$\frac{1 \cdot 40}{25 \cdot 40} + \frac{1}{1000} = \frac{40}{1000} + \frac{1}{1000} = \frac{41}{1000}$
Запишем результат в виде десятичной дроби:
$\frac{41}{1000} = 0,041$
Ответ: $0,041$.

2) $(\frac{6}{7})^{-1} + 6^{-2} - (-3,5)^{0}$
Разберем каждый член выражения по отдельности, используя свойства степеней:
1. Для дроби в отрицательной степени используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{6}{7})^{-1} = (\frac{7}{6})^1 = \frac{7}{6}$
2. Для степени с отрицательным показателем используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
3. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$):
$(-3,5)^0 = 1$
Теперь подставим вычисленные значения обратно в выражение:
$\frac{7}{6} + \frac{1}{36} - 1$
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{7 \cdot 6}{6 \cdot 6} + \frac{1}{36} - \frac{36}{36} = \frac{42}{36} + \frac{1}{36} - \frac{36}{36}$
Выполним сложение и вычитание числителей:
$\frac{42 + 1 - 36}{36} = \frac{7}{36}$
Ответ: $\frac{7}{36}$.

3) $(\frac{9}{4})^{-2} \cdot 2^{-5}$
Сначала преобразуем первый множитель, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{9}{4})^{-2} = (\frac{4}{9})^2$
Возведем дробь в квадрат:
$(\frac{4}{9})^2 = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$
Теперь преобразуем второй множитель, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
Перемножим полученные результаты:
$\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{32}$
Сократим числитель первого множителя (16) и знаменатель второго (32) на их общий делитель 16:
$\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{81} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{162}$
Ответ: $\frac{1}{162}$.