Номер 39, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 39, страница 66.

Условие.

39. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 4 = 11$ и $6x = 42$;

2) $x + 8 = 0$ и $(x - 8)(x + 8) = 0$;

3) $x^2 = -9$ и $\frac{8}{x} = 0$;

4) $x + 10 = 10 + x$ и $\frac{x - 5}{x - 5} = 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x + 4 = 11$ и $6x = 42$
Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждого уравнения.
Решим первое уравнение: $x + 4 = 11$. Вычтем 4 из обеих частей: $x = 11 - 4$, откуда получаем $x = 7$. Множество решений первого уравнения: $\{7\}$.
Решим второе уравнение: $6x = 42$. Разделим обе части на 6: $x = \frac{42}{6}$, откуда получаем $x = 7$. Множество решений второго уравнения: $\{7\}$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, уравнения являются равносильными.
Ответ: да, уравнения равносильны.

2) $x + 8 = 0$ и $(x - 8)(x + 8) = 0$
Найдем решения для каждого уравнения.
Решим первое уравнение: $x + 8 = 0$. Вычтем 8 из обеих частей: $x = -8$. Множество решений этого уравнения: $\{-8\}$.
Решим второе уравнение: $(x - 8)(x + 8) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - 8 = 0$ или $x + 8 = 0$. Из этого получаем два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$. Множество решений второго уравнения: $\{-8, 8\}$.
Множества решений не совпадают (первое содержит только корень -8, а второе — корни -8 и 8). Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, уравнения не равносильны.

3) $x^2 = -9$ и $\frac{8}{x} = 0$
Найдем решения для каждого уравнения.
Рассмотрим первое уравнение: $x^2 = -9$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Поэтому данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).
Рассмотрим второе уравнение: $\frac{8}{x} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. В данном уравнении числитель равен 8, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение также не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).
Так как множества решений обоих уравнений совпадают (оба являются пустыми), уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

4) $x + 10 = 10 + x$ и $\frac{x-5}{x-5} = 1$
Найдем решения для каждого уравнения.
Рассмотрим первое уравнение: $x + 10 = 10 + x$. Это тождество, так как оно верно при любом значении переменной $x$. Его можно преобразовать к виду $0=0$. Множеством решений является множество всех действительных чисел, $\mathbb{R}$.
Рассмотрим второе уравнение: $\frac{x-5}{x-5} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. Для всех $x$ из ОДЗ левая часть уравнения равна 1, то есть равенство верно. Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x = 5$. Множество решений: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$, или $\mathbb{R} \setminus \{5\}$.
Множества решений уравнений не совпадают (для первого уравнения $x=5$ является решением, а для второго — нет). Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, уравнения не равносильны.