Номер 38, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 38, страница 66.

Условие.

38. Упростите выражение:

1) $ \frac{a - \frac{4a - 4}{a}}{\frac{2}{a} \div 1} $;

2) $ \frac{\frac{n+9}{n} - \frac{n}{n-9}}{\frac{n}{n+9} - \frac{n-9}{n}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для упрощения данного выражения, мы последовательно упростим числитель и знаменатель основной дроби, а затем выполним деление.

Сначала упростим числитель: $a - \frac{4a - 4}{a}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $a$:

$a - \frac{4a - 4}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{4a - 4}{a} = \frac{a^2 - (4a - 4)}{a} = \frac{a^2 - 4a + 4}{a}$

Выражение в числителе $a^2 - 4a + 4$ является полным квадратом разности $(a-2)^2$.

Таким образом, числитель равен $ \frac{(a - 2)^2}{a} $.

Теперь упростим знаменатель: $\frac{2}{a} - 1$.

Приведем к общему знаменателю $a$:

$\frac{2}{a} - 1 = \frac{2}{a} - \frac{a}{a} = \frac{2 - a}{a}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь.

$ \frac{\frac{(a - 2)^2}{a}}{\frac{2 - a}{a}} = \frac{(a - 2)^2}{a} \cdot \frac{a}{2 - a} $

Сократим $a$ в числителе и знаменателе. Также учтем, что $2 - a = -(a - 2)$.

$ \frac{(a - 2)^2}{2 - a} = \frac{(a - 2)^2}{-(a - 2)} $

Сокращаем общий множитель $(a-2)$:

$ \frac{a - 2}{-1} = -(a - 2) = 2 - a $

При этом область допустимых значений переменной $a$ определяется условиями $a \neq 0$ и $a \neq 2$.

Ответ: $2 - a$.

2)

Для упрощения этого выражения также сначала упростим числитель и знаменатель основной дроби.

Упростим числитель: $\frac{n+9}{n} - \frac{n}{n-9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $n(n-9)$:

$\frac{(n+9)(n-9)}{n(n-9)} - \frac{n \cdot n}{n(n-9)} = \frac{n^2 - 81 - n^2}{n(n-9)} = \frac{-81}{n(n-9)}$

Теперь упростим знаменатель: $\frac{n}{n+9} - \frac{n-9}{n}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $n(n+9)$:

$\frac{n \cdot n}{n(n+9)} - \frac{(n-9)(n+9)}{n(n+9)} = \frac{n^2 - (n^2 - 81)}{n(n+9)} = \frac{n^2 - n^2 + 81}{n(n+9)} = \frac{81}{n(n+9)}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\frac{-81}{n(n-9)}}{\frac{81}{n(n+9)}} = \frac{-81}{n(n-9)} \cdot \frac{n(n+9)}{81} $

Сократим общие множители $81$ и $n$:

$ \frac{-1}{n-9} \cdot \frac{n+9}{1} = \frac{-(n+9)}{n-9} $

Это выражение можно также записать в виде $\frac{n+9}{9-n}$.

Область допустимых значений определяется условиями $n \neq 0$, $n \neq 9$ и $n \neq -9$.

Ответ: $\frac{-(n+9)}{n-9}$.