Номер 32, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Выполните деление:

1) $\frac{x - 3}{6x^3} : \frac{x^2 - 6x + 9}{18x^4}$;

2) $\frac{x^2 + 4x}{5x - 5} : \frac{7x + 28}{x - 1}$;

3) $\frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 4} : (m - 2)$;

4) $\frac{a^2 - 81b^2}{49a^2 - 25b^2} : \frac{a^2 + 18ab + 81b^2}{49a^2 - 70ab + 25b^2}$.

1) Исходное выражение: $\frac{x-3}{6x^3} : \frac{x^2 - 6x + 9}{18x^4}$.
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо умножить первую дробь на дробь, обратную второй (перевернуть делитель):
$\frac{x-3}{6x^3} \cdot \frac{18x^4}{x^2 - 6x + 9}$.
Далее, разложим на множители числитель второй дроби. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.
Подставим разложенное выражение обратно и получим:
$\frac{x-3}{6x^3} \cdot \frac{18x^4}{(x-3)^2}$.
Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе:
- Сокращаем $(x-3)$ и один из множителей $(x-3)$ в знаменателе.
- Сокращаем $6$ и $18$, в числителе остается $3$.
- Сокращаем $x^3$ и $x^4$, в числителе остается $x$.
$\frac{\cancel{x-3}}{\cancel{6}\cancel{x^3}} \cdot \frac{\cancel{18}^3\cancel{x^4}^x}{(x-3)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3x}{x-3} = \frac{3x}{x-3}$.
Ответ: $\frac{3x}{x-3}$

2) Исходное выражение: $\frac{x^2 + 4x}{5x - 5} : \frac{7x + 28}{x - 1}$.
Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{x^2 + 4x}{5x - 5} \cdot \frac{x - 1}{7x + 28}$.
Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей:
- $x^2 + 4x = x(x+4)$ (вынесение общего множителя).
- $5x - 5 = 5(x-1)$ (вынесение общего множителя).
- $7x + 28 = 7(x+4)$ (вынесение общего множителя).
Подставим полученные выражения:
$\frac{x(x+4)}{5(x-1)} \cdot \frac{x-1}{7(x+4)}$.
Сократим общие множители $(x+4)$ и $(x-1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{x\cancel{(x+4)}}{5\cancel{(x-1)}} \cdot \frac{\cancel{x-1}}{7\cancel{(x+4)}} = \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{x}{35}$.
Ответ: $\frac{x}{35}$

3) Исходное выражение: $\frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 4} : (m - 2)$.
Представим делитель $(m-2)$ как дробь $\frac{m-2}{1}$ и заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 4} \cdot \frac{1}{m-2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, используя формулы сокращенного умножения:
- $m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2$ (квадрат разности).
- $m^2 - 4 = (m-2)(m+2)$ (разность квадратов).
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(m-2)^2}{(m-2)(m+2)} \cdot \frac{1}{m-2}$.
Объединим дроби и сократим общие множители. В числителе $(m-2)^2 = (m-2)(m-2)$, в знаменателе $(m-2)(m+2)(m-2)$.
$\frac{\cancel{(m-2)}\cancel{(m-2)}}{\cancel{(m-2)}(m+2)\cancel{(m-2)}} = \frac{1}{m+2}$.
Ответ: $\frac{1}{m+2}$

4) Исходное выражение: $\frac{a^2 - 81b^2}{49a^2 - 25b^2} : \frac{a^2 + 18ab + 81b^2}{49a^2 - 70ab + 25b^2}$.
Заменим деление на умножение на перевернутую дробь:
$\frac{a^2 - 81b^2}{49a^2 - 25b^2} \cdot \frac{49a^2 - 70ab + 25b^2}{a^2 + 18ab + 81b^2}$.
Разложим на множители все числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения:
- $a^2 - 81b^2 = a^2 - (9b)^2 = (a-9b)(a+9b)$ (разность квадратов).
- $49a^2 - 25b^2 = (7a)^2 - (5b)^2 = (7a-5b)(7a+5b)$ (разность квадратов).
- $49a^2 - 70ab + 25b^2 = (7a)^2 - 2(7a)(5b) + (5b)^2 = (7a-5b)^2$ (квадрат разности).
- $a^2 + 18ab + 81b^2 = a^2 + 2(a)(9b) + (9b)^2 = (a+9b)^2$ (квадрат суммы).
Подставим разложения в наше выражение:
$\frac{(a-9b)(a+9b)}{(7a-5b)(7a+5b)} \cdot \frac{(7a-5b)^2}{(a+9b)^2}$.
Сократим общие множители: $(a+9b)$ и $(7a-5b)$.
$\frac{(a-9b)\cancel{(a+9b)}}{\cancel{(7a-5b)}(7a+5b)} \cdot \frac{(7a-5b)^{\cancel{2}}}{(a+9b)^{\cancel{2}}} = \frac{(a-9b)(7a-5b)}{(7a+5b)(a+9b)}$.
Ответ: $\frac{(a-9b)(7a-5b)}{(a+9b)(7a+5b)}$