Номер 25, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 25, страница 63.

Условие.

25. Выполните действия:

1) $\frac{x - 5}{4x + 4} - \frac{x - 2}{x + 1}$;

2) $\frac{b + 2}{2b - 8} + \frac{4 - b}{3b - 12}$;

3) $\frac{c + 4}{c - 4} - \frac{c - 3}{c + 4}$;

4) $\frac{7m}{5m - 30} + \frac{2m}{18 - 3m}$;

5) $\frac{4a}{4a + b} - \frac{16a^2}{16a^2 + 8ab + b^2}$;

6) $\frac{8}{b^2 - 25} - \frac{4}{b^2 + 5b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \frac{x-5}{4x+4} - \frac{x-2}{x+1} $

Для начала упростим знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель за скобки: $ 4x+4 = 4(x+1) $. Выражение примет вид:

$ \frac{x-5}{4(x+1)} - \frac{x-2}{x+1} $

Наименьший общий знаменатель для этих дробей — $ 4(x+1) $. Чтобы привести вторую дробь к этому знаменателю, домножим ее числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{x-5}{4(x+1)} - \frac{4(x-2)}{4(x+1)} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем вычесть числители:

$ \frac{(x-5) - 4(x-2)}{4(x+1)} = \frac{x - 5 - 4x + 8}{4(x+1)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-3x + 3}{4(x+1)} $

Можно вынести множитель -3 в числителе:

$ \frac{-3(x-1)}{4(x+1)} $

Ответ: $ \frac{-3(x-1)}{4(x+1)} $.

2) $ \frac{b+2}{2b-8} + \frac{4-b}{3b-12} $

Разложим знаменатели на множители, вынеся общие множители за скобки:

$ 2b-8 = 2(b-4) $

$ 3b-12 = 3(b-4) $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{b+2}{2(b-4)} + \frac{4-b}{3(b-4)} $

Наименьший общий знаменатель равен $ 2 \cdot 3 \cdot (b-4) = 6(b-4) $. Домножим первую дробь на 3, а вторую — на 2:

$ \frac{3(b+2)}{6(b-4)} + \frac{2(4-b)}{6(b-4)} $

Сложим числители:

$ \frac{3(b+2) + 2(4-b)}{6(b-4)} = \frac{3b + 6 + 8 - 2b}{6(b-4)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{b+14}{6(b-4)} $

Ответ: $ \frac{b+14}{6(b-4)} $.

3) $ \frac{c+4}{c-4} - \frac{c-3}{c+4} $

Знаменатели $ (c-4) $ и $ (c+4) $ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ (c-4)(c+4) $.

Домножим первую дробь на $ (c+4) $, а вторую на $ (c-4) $:

$ \frac{(c+4)(c+4)}{(c-4)(c+4)} - \frac{(c-3)(c-4)}{(c-4)(c+4)} $

Выполним вычитание числителей:

$ \frac{(c+4)^2 - (c-3)(c-4)}{(c-4)(c+4)} $

Раскроем скобки в числителе. Используем формулу квадрата суммы для $ (c+4)^2 = c^2 + 8c + 16 $ и перемножим $ (c-3)(c-4) = c^2 - 4c - 3c + 12 = c^2 - 7c + 12 $.

$ \frac{(c^2 + 8c + 16) - (c^2 - 7c + 12)}{c^2 - 16} $

$ \frac{c^2 + 8c + 16 - c^2 + 7c - 12}{c^2 - 16} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{15c + 4}{c^2 - 16} $

Ответ: $ \frac{15c+4}{c^2-16} $.

4) $ \frac{7m}{5m-30} + \frac{2m}{18-3m} $

Разложим знаменатели на множители:

$ 5m - 30 = 5(m-6) $

$ 18 - 3m = 3(6-m) = -3(m-6) $

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение. Знак "минус" из второго знаменателя перенесем перед дробью:

$ \frac{7m}{5(m-6)} + \frac{2m}{-3(m-6)} = \frac{7m}{5(m-6)} - \frac{2m}{3(m-6)} $

Наименьший общий знаменатель равен $ 5 \cdot 3 \cdot (m-6) = 15(m-6) $. Домножим первую дробь на 3, а вторую — на 5:

$ \frac{3 \cdot 7m}{15(m-6)} - \frac{5 \cdot 2m}{15(m-6)} = \frac{21m}{15(m-6)} - \frac{10m}{15(m-6)} $

Выполним вычитание:

$ \frac{21m - 10m}{15(m-6)} = \frac{11m}{15(m-6)} $

Ответ: $ \frac{11m}{15(m-6)} $.

5) $ \frac{4a}{4a+b} - \frac{16a^2}{16a^2+8ab+b^2} $

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом:

$ 16a^2 + 8ab + b^2 = (4a)^2 + 2(4a)(b) + b^2 = (4a+b)^2 $

Перепишем выражение:

$ \frac{4a}{4a+b} - \frac{16a^2}{(4a+b)^2} $

Наименьший общий знаменатель — $ (4a+b)^2 $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (4a+b) $:

$ \frac{4a(4a+b)}{(4a+b)^2} - \frac{16a^2}{(4a+b)^2} $

Выполним вычитание числителей:

$ \frac{4a(4a+b) - 16a^2}{(4a+b)^2} = \frac{16a^2 + 4ab - 16a^2}{(4a+b)^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{4ab}{(4a+b)^2} $

Ответ: $ \frac{4ab}{(4a+b)^2} $.

6) $ \frac{8}{b^2-25} - \frac{4}{b^2+5b} $

Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель — разность квадратов, а во втором можно вынести общий множитель:

$ b^2 - 25 = (b-5)(b+5) $

$ b^2 + 5b = b(b+5) $

Выражение примет вид:

$ \frac{8}{(b-5)(b+5)} - \frac{4}{b(b+5)} $

Наименьший общий знаменатель равен $ b(b-5)(b+5) $. Домножим первую дробь на $ b $, а вторую — на $ (b-5) $:

$ \frac{8b}{b(b-5)(b+5)} - \frac{4(b-5)}{b(b-5)(b+5)} $

Выполним вычитание:

$ \frac{8b - 4(b-5)}{b(b-5)(b+5)} = \frac{8b - 4b + 20}{b(b-5)(b+5)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{4b + 20}{b(b-5)(b+5)} $

Вынесем в числителе общий множитель 4:

$ \frac{4(b+5)}{b(b-5)(b+5)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (b+5) $:

$ \frac{4}{b(b-5)} $

Ответ: $ \frac{4}{b(b-5)} $.