Номер 19, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a - 8)x = 3;$

2) $(a + 5)x = a + 5;$

3) $(a - 8)x = a^2 - 16a + 64;$

4) $(a^2 - 9)x = a + 3.$

1) $(a - 8)x = 3$

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$ с параметром $a$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$.

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $a - 8 \ne 0$, то есть $a \ne 8$.
В этом случае уравнение имеет единственный корень, который находится делением обеих частей уравнения на $(a - 8)$:
$x = \frac{3}{a - 8}$

2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a - 8 = 0$, то есть $a = 8$.
Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:
$(8 - 8)x = 3$
$0 \cdot x = 3$
Это равенство неверно при любом значении $x$, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a \ne 8$, то $x = \frac{3}{a - 8}$; если $a = 8$, то корней нет.

2) $(a + 5)x = a + 5$

Это линейное уравнение относительно $x$.

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $a + 5 \ne 0$, то есть $a \ne -5$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a + 5)$:
$x = \frac{a + 5}{a + 5}$
$x = 1$

2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a + 5 = 0$, то есть $a = -5$.
Подставим это значение $a$ в уравнение:
$(-5 + 5)x = -5 + 5$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство является верным для любого действительного числа $x$.

Ответ: если $a \ne -5$, то $x = 1$; если $a = -5$, то $x$ — любое число.

3) $(a - 8)x = a^2 - 16a + 64$

Преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что выражение $a^2 - 16a + 64$ является полным квадратом разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = (a - 8)^2$.

Уравнение принимает вид:
$(a - 8)x = (a - 8)^2$

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $a - 8 \ne 0$, то есть $a \ne 8$.
Разделим обе части уравнения на $(a - 8)$:
$x = \frac{(a - 8)^2}{a - 8}$
$x = a - 8$

2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a - 8 = 0$, то есть $a = 8$.
Подставим это значение $a$ в уравнение:
$(8 - 8)x = (8 - 8)^2$
$0 \cdot x = 0^2$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство является верным для любого действительного числа $x$.

Ответ: если $a \ne 8$, то $x = a - 8$; если $a = 8$, то $x$ — любое число.

4) $(a^2 - 9)x = a + 3$

Разложим коэффициент при $x$ на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.
Уравнение принимает вид:
$(a - 3)(a + 3)x = a + 3$

Рассмотрим возможные значения параметра $a$.

1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $(a - 3)(a + 3) \ne 0$. Это выполняется, когда $a \ne 3$ и $a \ne -3$.
В этом случае разделим обе части уравнения на $(a - 3)(a + 3)$:
$x = \frac{a + 3}{(a - 3)(a + 3)}$
Так как $a \ne -3$, то $a+3 \ne 0$, и мы можем сократить дробь:
$x = \frac{1}{a - 3}$

2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $(a - 3)(a + 3) = 0$. Это происходит при $a = 3$ или $a = -3$. Рассмотрим эти два случая отдельно.

2.1. Пусть $a = 3$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$(3^2 - 9)x = 3 + 3$
$0 \cdot x = 6$
Это равенство неверно, следовательно, при $a=3$ уравнение не имеет корней.

2.2. Пусть $a = -3$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$((-3)^2 - 9)x = -3 + 3$
$(9 - 9)x = 0$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: если $a \ne 3$ и $a \ne -3$, то $x = \frac{1}{a - 3}$; если $a = 3$, то корней нет; если $a = -3$, то $x$ — любое число.