Номер 12, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 12, страница 60.

Условие.

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной с значение дроби:

1) $
\frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18a + 81}$
$ положительное;

2) $
\frac{10c - 25 - c^2}{c^8 + 1}$
$ неположительное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Требуется доказать, что значение дроби $ \frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18a + 81} $ положительное при всех допустимых значениях переменной $c$.

(В условии, вероятно, допущена опечатка в знаменателе. Судя по контексту задачи и упоминанию только одной переменной $c$, выражение в знаменателе должно быть $c^2 + 18c + 81$. Решение приведено для исправленного варианта.)

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности, чтобы определить их знаки.

Анализ числителя: $c^2 - 2c + 2$.

Для определения знака этого квадратного трехчлена выделим полный квадрат:

$c^2 - 2c + 2 = (c^2 - 2c + 1) + 1 = (c - 1)^2 + 1$.

Выражение $(c - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(c - 1)^2 \ge 0$ при любом $c$.

Тогда сумма $(c - 1)^2 + 1$ будет всегда не меньше, чем $0 + 1 = 1$. Таким образом, числитель дроби всегда строго положителен: $c^2 - 2c + 2 > 0$.

Анализ знаменателя: $c^2 + 18c + 81$.

Данное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$c^2 + 18c + 81 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 9 + 9^2 = (c + 9)^2$.

Допустимыми значениями переменной являются те, при которых знаменатель не обращается в ноль. Найдем это условие:

$(c + 9)^2 \neq 0 \implies c + 9 \neq 0 \implies c \neq -9$.

При всех допустимых значениях $c$ (то есть при $c \neq -9$) выражение $(c + 9)^2$ является квадратом ненулевого числа, следовательно, оно всегда строго положительно: $(c + 9)^2 > 0$.

В итоге мы имеем дробь, у которой при всех допустимых значениях $c$ числитель строго положителен и знаменатель строго положителен. Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом.

$\frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18c + 81} = \frac{(c - 1)^2 + 1}{(c + 9)^2} > 0$.

Таким образом, доказано, что значение дроби положительное при всех допустимых значениях $c$.

Ответ: При всех допустимых $c$ (т.е. $c \neq -9$) числитель дроби $c^2 - 2c + 2 = (c-1)^2+1 > 0$, и знаменатель $c^2 + 18c + 81 = (c+9)^2 > 0$. Отношение двух положительных чисел всегда положительно, что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что значение дроби $ \frac{10c - 25 - c^2}{c^8 + 1} $ неположительное при всех допустимых значениях переменной $c$.

Неположительное число — это число, которое меньше или равно нулю ($ \le 0 $). Рассмотрим числитель и знаменатель дроби.

Анализ числителя: $10c - 25 - c^2$.

Для удобства вынесем знак минус за скобки и переставим слагаемые:

$10c - 25 - c^2 = -(c^2 - 10c + 25)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности:

$c^2 - 10c + 25 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = (c - 5)^2$.

Следовательно, числитель можно записать как $-(c - 5)^2$.

Так как $(c - 5)^2 \ge 0$ при любых $c$, то выражение $-(c - 5)^2$ всегда будет меньше или равно нулю, то есть $-(c - 5)^2 \le 0$. Числитель является неположительным числом.

Анализ знаменателя: $c^8 + 1$.

Переменная $c$ возводится в четную степень 8, поэтому $c^8 \ge 0$ при любом значении $c$.

Тогда сумма $c^8 + 1$ всегда будет не меньше, чем $0 + 1 = 1$. Таким образом, знаменатель дроби всегда строго положителен: $c^8 + 1 > 0$.

Поскольку знаменатель $c^8 + 1$ никогда не равен нулю, дробь определена для всех действительных значений $c$.

Теперь рассмотрим всю дробь:

$\frac{10c - 25 - c^2}{c^8 + 1} = \frac{-(c - 5)^2}{c^8 + 1}$.

Мы делим неположительное число (числитель $ \le 0 $) на строго положительное число (знаменатель $ > 0 $). Результат такого деления всегда будет неположительным.

Значение дроби равно нулю при $c=5$ и отрицательно при всех остальных значениях $c$.

Таким образом, доказано, что значение дроби неположительное при всех допустимых значениях $c$.

Ответ: При всех $c$ числитель дроби $10c - 25 - c^2 = -(c-5)^2 \le 0$, а знаменатель $c^8 + 1 > 0$. Отношение неположительного числа к положительному всегда неположительно, что и требовалось доказать.