Номер 14, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 14, страница 61.

Условие.

14. Сократите дробь:

1) $\frac{9c + 27d}{9c}$;

2) $\frac{6a - 18b}{7a - 21b}$;

3) $\frac{a^2 - 64}{3a + 24}$;

4) $\frac{20x^2 - 5x}{6 - 24x}$;

5) $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$;

6) $\frac{a^5 - a^7}{a^6 - a^4}$;

7) $\frac{a^3 - 216}{2a - 12}$;

8) $\frac{3m^2 - 6m + 12}{6m^3 + 48}$;

9) $\frac{am - mb - 6a + 6b}{m^2 - 36}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{9c + 27d}{9c}$, вынесем в числителе общий множитель 9 за скобки. Получим $9c + 27d = 9(c + 3d)$. Теперь дробь имеет вид $\frac{9(c + 3d)}{9c}$. Сократим общий множитель 9 в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{9}(c + 3d)}{\cancel{9}c} = \frac{c + 3d}{c}$. Важно отметить, что нельзя сокращать $c$, так как в числителе это слагаемое, а не множитель. Ответ: $\frac{c + 3d}{c}$

2) В дроби $\frac{6a - 18b}{7a - 21b}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель равен 6: $6a - 18b = 6(a - 3b)$. В знаменателе общий множитель равен 7: $7a - 21b = 7(a - 3b)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{6(a - 3b)}{7(a - 3b)}$. Сократим общий множитель $(a - 3b)$: $\frac{6\cancel{(a - 3b)}}{7\cancel{(a - 3b)}} = \frac{6}{7}$. Ответ: $\frac{6}{7}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 - 64}{3a + 24}$. Числитель $a^2 - 64$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $a^2 - 8^2 = (a-8)(a+8)$. В знаменателе $3a + 24$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a+8)$. Дробь принимает вид $\frac{(a-8)(a+8)}{3(a+8)}$. Сокращаем на общий множитель $(a+8)$: $\frac{(a-8)\cancel{(a+8)}}{3\cancel{(a+8)}} = \frac{a-8}{3}$. Ответ: $\frac{a-8}{3}$

4) В дроби $\frac{20x^2 - 5x}{6 - 24x}$ разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $5x$: $20x^2 - 5x = 5x(4x-1)$. В знаменателе вынесем общий множитель 6: $6 - 24x = 6(1-4x)$. Получим дробь $\frac{5x(4x-1)}{6(1-4x)}$. Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $1-4x = -(4x-1)$. Перепишем дробь: $\frac{5x(4x-1)}{-6(4x-1)}$. Теперь можно сократить общий множитель $(4x-1)$: $\frac{5x}{-6} = -\frac{5x}{6}$. Ответ: $-\frac{5x}{6}$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $x^2 - 25$ — это разность квадратов: $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$. Знаменатель $x^2 - 10x + 25$ — это полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$. Дробь принимает вид $\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}$. Сокращаем на общий множитель $(x-5)$: $\frac{\cancel{(x-5)}(x+5)}{(x-5)^{\cancel{2}}} = \frac{x+5}{x-5}$. Ответ: $\frac{x+5}{x-5}$

6) В дроби $\frac{a^5 - a^7}{a^6 - a^4}$ вынесем в числителе $a^5$ за скобки: $a^5(1 - a^2)$. В знаменателе вынесем $a^4$: $a^4(a^2 - 1)$. Получим $\frac{a^5(1 - a^2)}{a^4(a^2 - 1)}$. Выражения $1 - a^2$ и $a^2 - 1$ противоположны, то есть $1 - a^2 = -(a^2 - 1)$. Подставим это в дробь: $\frac{-a^5(a^2 - 1)}{a^4(a^2 - 1)}$. Сократим на общий множитель $a^4(a^2-1)$. Учитывая, что $\frac{a^5}{a^4}=a$, получим $-a$. Ответ: $-a$

7) Дана дробь $\frac{a^3 - 216}{2a - 12}$. Числитель $a^3 - 216$ является разностью кубов, так как $216=6^3$. Используем формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$: $a^3 - 6^3 = (a-6)(a^2+6a+36)$. В знаменателе вынесем общий множитель 2: $2a-12 = 2(a-6)$. Дробь принимает вид $\frac{(a-6)(a^2+6a+36)}{2(a-6)}$. Сокращаем на общий множитель $(a-6)$: $\frac{\cancel{(a-6)}(a^2+6a+36)}{2\cancel{(a-6)}} = \frac{a^2+6a+36}{2}$. Ответ: $\frac{a^2+6a+36}{2}$

8) Рассмотрим дробь $\frac{3m^2 - 6m + 12}{6m^3 + 48}$. В числителе вынесем общий множитель 3: $3(m^2-2m+4)$. В знаменателе вынесем 6: $6(m^3+8)$. Знаменатель содержит сумму кубов $m^3+8=m^3+2^3$, которую разложим по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$: $m^3+2^3 = (m+2)(m^2-2m+4)$. Тогда вся дробь равна $\frac{3(m^2-2m+4)}{6(m+2)(m^2-2m+4)}$. Сократим на общий множитель $(m^2-2m+4)$ и на 3: $\frac{\cancel{3}}{\cancel{6}_2(m+2)} = \frac{1}{2(m+2)}$. Ответ: $\frac{1}{2(m+2)}$

9) Чтобы сократить дробь $\frac{am - mb - 6a + 6b}{m^2 - 36}$, разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим метод группировки: $(am - mb) + (-6a + 6b) = m(a-b) - 6(a-b) = (a-b)(m-6)$. Знаменатель $m^2 - 36$ — это разность квадратов: $m^2 - 6^2 = (m-6)(m+6)$. Дробь принимает вид $\frac{(a-b)(m-6)}{(m-6)(m+6)}$. Сократим на общий множитель $(m-6)$: $\frac{(a-b)\cancel{(m-6)}}{\cancel{(m-6)}(m+6)} = \frac{a-b}{m+6}$. Ответ: $\frac{a-b}{m+6}$