Номер 16, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Приведите дробь:

1) $\frac{a}{b^4}$ к знаменателю $b^6$;

2) $\frac{b}{7c}$ к знаменателю $28c^4 p^3$;

3) $\frac{8}{5a^3b}$ к знаменателю $45a^4 b^3$;

4) $\frac{3}{b+6}$ к знаменателю $4b + 24$;

5) $\frac{10}{c-7}$ к знаменателю $c^2 - 7c$;

6) $\frac{a+3}{a-5}$ к знаменателю $a^2 - 25$.

1) Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель, на который нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби. Дополнительный множитель находится путем деления нового знаменателя на старый.
Исходная дробь: $\frac{a}{b^4}$. Новый знаменатель: $b^6$.
Найдем дополнительный множитель: $\frac{b^6}{b^4} = b^{6-4} = b^2$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $b^2$:
$\frac{a \cdot b^2}{b^4 \cdot b^2} = \frac{ab^2}{b^6}$.
Ответ: $\frac{ab^2}{b^6}$.

2) Исходная дробь: $\frac{b}{7c}$. Новый знаменатель: $28c^4p^3$.
Найдем дополнительный множитель: $\frac{28c^4p^3}{7c} = 4c^{4-1}p^3 = 4c^3p^3$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $4c^3p^3$:
$\frac{b \cdot (4c^3p^3)}{7c \cdot (4c^3p^3)} = \frac{4bc^3p^3}{28c^4p^3}$.
Ответ: $\frac{4bc^3p^3}{28c^4p^3}$.

3) Исходная дробь: $\frac{8}{5a^3b}$. Новый знаменатель: $45a^4b^3$.
Найдем дополнительный множитель: $\frac{45a^4b^3}{5a^3b} = 9a^{4-3}b^{3-1} = 9ab^2$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $9ab^2$:
$\frac{8 \cdot (9ab^2)}{5a^3b \cdot (9ab^2)} = \frac{72ab^2}{45a^4b^3}$.
Ответ: $\frac{72ab^2}{45a^4b^3}$.

4) Исходная дробь: $\frac{3}{b+6}$. Новый знаменатель: $4b+24$.
Сначала разложим новый знаменатель на множители: $4b+24 = 4(b+6)$.
Найдем дополнительный множитель: $\frac{4(b+6)}{b+6} = 4$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $4$:
$\frac{3 \cdot 4}{(b+6) \cdot 4} = \frac{12}{4(b+6)} = \frac{12}{4b+24}$.
Ответ: $\frac{12}{4b+24}$.

5) Исходная дробь: $\frac{10}{c-7}$. Новый знаменатель: $c^2-7c$.
Сначала разложим новый знаменатель на множители: $c^2-7c = c(c-7)$.
Найдем дополнительный множитель: $\frac{c(c-7)}{c-7} = c$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $c$:
$\frac{10 \cdot c}{(c-7) \cdot c} = \frac{10c}{c(c-7)} = \frac{10c}{c^2-7c}$.
Ответ: $\frac{10c}{c^2-7c}$.

6) Исходная дробь: $\frac{a+3}{a-5}$. Новый знаменатель: $a^2-25$.
Сначала разложим новый знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-25 = (a-5)(a+5)$.
Найдем дополнительный множитель: $\frac{(a-5)(a+5)}{a-5} = a+5$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(a+5)$:
$\frac{(a+3)(a+5)}{(a-5)(a+5)} = \frac{a^2+5a+3a+15}{a^2-25} = \frac{a^2+8a+15}{a^2-25}$.
Ответ: $\frac{a^2+8a+15}{a^2-25}$.