Номер 15, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 15, страница 61.

Условие.

15. Найдите значение выражения:

1) $\frac{m^6n^7 + m^4n^9}{m^4n^7}$, если $m = -0,9, n = -0,1;$

2) $\frac{3a^3 - 48a}{5a^3 - 40a^2 + 80a}$, если $a = 16;$

3) $\frac{(5a + 5b)^2}{5a^2 - 5b^2}$, если $a = 0,3, b = -0,2;$

4) $\frac{20x^2 - 60xy + 45y^2}{21y - 14x}$, если $2x - 3y = 0,7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для нахождения значения выражения $\frac{m^6n^7 + m^4n^9}{m^4n^7}$ при $m = -0,9$ и $n = -0,1$ сначала упростим его. Вынесем в числителе общий множитель $m^4n^7$ за скобки: $$ \frac{m^4n^7(m^2 + n^2)}{m^4n^7} $$ Сократим дробь на $m^4n^7$ (это возможно, так как $m \ne 0$ и $n \ne 0$): $$ m^2 + n^2 $$ Теперь подставим заданные значения $m = -0,9$ и $n = -0,1$ в упрощенное выражение: $$ (-0,9)^2 + (-0,1)^2 = 0,81 + 0,01 = 0,82 $$

Ответ: 0,82.

2)

Для нахождения значения выражения $\frac{3a^3 - 48a}{5a^3 - 40a^2 + 80a}$ при $a = 16$ сначала упростим его. Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки $3a$: $$ 3a^3 - 48a = 3a(a^2 - 16) $$ Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ 3a(a - 4)(a + 4) $$ В знаменателе вынесем за скобки $5a$: $$ 5a^3 - 40a^2 + 80a = 5a(a^2 - 8a + 16) $$ Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $$ 5a(a - 4)^2 $$ Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим: $$ \frac{3a(a - 4)(a + 4)}{5a(a - 4)^2} = \frac{3(a + 4)}{5(a - 4)} $$ Подставим значение $a = 16$: $$ \frac{3(16 + 4)}{5(16 - 4)} = \frac{3 \cdot 20}{5 \cdot 12} = \frac{60}{60} = 1 $$

Ответ: 1.

3)

Для нахождения значения выражения $\frac{(5a + 5b)^2}{5a^2 - 5b^2}$ при $a = 0,3$ и $b = -0,2$ сначала упростим его. В числителе вынесем за скобку общий множитель 5: $$ (5(a + b))^2 = 5^2(a + b)^2 = 25(a + b)^2 $$ В знаменателе вынесем за скобку 5 и применим формулу разности квадратов: $$ 5a^2 - 5b^2 = 5(a^2 - b^2) = 5(a - b)(a + b) $$ Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим: $$ \frac{25(a + b)^2}{5(a - b)(a + b)} = \frac{5(a + b)}{a - b} $$ Теперь подставим значения $a = 0,3$ и $b = -0,2$: $$ \frac{5(0,3 + (-0,2))}{0,3 - (-0,2)} = \frac{5(0,3 - 0,2)}{0,3 + 0,2} = \frac{5 \cdot 0,1}{0,5} = \frac{0,5}{0,5} = 1 $$

Ответ: 1.

4)

Для нахождения значения выражения $\frac{20x^2 - 60xy + 45y^2}{21y - 14x}$ при условии, что $2x - 3y = 0,7$, сначала упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобку общий множитель 5: $$ 20x^2 - 60xy + 45y^2 = 5(4x^2 - 12xy + 9y^2) $$ Выражение в скобках является полным квадратом разности $(2x - 3y)^2$: $$ 5(2x - 3y)^2 $$ В знаменателе вынесем за скобку общий множитель -7, чтобы получить выражение $(2x-3y)$: $$ 21y - 14x = -7(-3y + 2x) = -7(2x - 3y) $$ Теперь подставим преобразованные выражения в дробь и сократим: $$ \frac{5(2x - 3y)^2}{-7(2x - 3y)} = \frac{5(2x - 3y)}{-7} = -\frac{5}{7}(2x - 3y) $$ Подставим известное значение $2x - 3y = 0,7$: $$ -\frac{5}{7} \cdot 0,7 = -\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{10} = -\frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 10} = -\frac{5}{10} = -0,5 $$

Ответ: -0,5.