Номер 22, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 22, страница 62.

Условие.

22. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:

1) $\frac{b+10}{b}$;

2) $\frac{a^2+7a+6}{a+7}$;

3) $\frac{c^2+6c-9}{c-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы представить дробь $ \frac{b+10}{b} $ в виде суммы целого выражения и дроби, мы можем разделить каждый член числителя на знаменатель. Этот метод называется почленным делением.
$ \frac{b+10}{b} = \frac{b}{b} + \frac{10}{b} $
Поскольку любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно единице, то $ \frac{b}{b} = 1 $ (при условии, что $ b \neq 0 $).
Таким образом, мы получаем:
$ 1 + \frac{10}{b} $
В этом выражении 1 является целой частью, а $ \frac{10}{b} $ — дробной частью.
Ответ: $ 1 + \frac{10}{b} $

2) Для того чтобы представить дробь $ \frac{a^2+7a+6}{a+7} $ в виде суммы, нужно выделить в числителе выражение, которое делится на знаменатель $ a+7 $ без остатка. Мы можем сделать это, заметив, что $ a^2+7a = a(a+7) $.
Перепишем числитель следующим образом:
$ a^2+7a+6 = (a^2+7a) + 6 = a(a+7) + 6 $
Теперь подставим это выражение обратно в исходную дробь:
$ \frac{a(a+7)+6}{a+7} $
Разделим эту дробь на сумму двух дробей:
$ \frac{a(a+7)}{a+7} + \frac{6}{a+7} $
Сократив первую дробь, мы получим искомое выражение:
$ a + \frac{6}{a+7} $
Здесь $ a $ — это целое выражение, а $ \frac{6}{a+7} $ — дробь.
Ответ: $ a + \frac{6}{a+7} $

3) Чтобы представить дробь $ \frac{c^2+6c-9}{c-2} $ в виде суммы целого выражения и дроби, мы выделим целую часть. Это можно сделать путем деления многочлена на многочлен (например, "уголком") или с помощью алгебраических преобразований числителя.
Воспользуемся вторым методом. Преобразуем числитель, чтобы выделить множитель $ (c-2) $:
$ c^2+6c-9 = c^2 - 2c + 8c - 9 $
Сгруппируем первые два члена: $ (c^2-2c) = c(c-2) $.
Выражение примет вид: $ c(c-2) + 8c - 9 $.
Теперь преобразуем оставшуюся часть $ 8c - 9 $, чтобы также выделить множитель $ (c-2) $:
$ 8c - 9 = 8c - 16 + 7 = 8(c-2) + 7 $.
Подставим это в наше выражение для числителя:
$ c(c-2) + 8(c-2) + 7 = (c+8)(c-2) + 7 $
Теперь вернемся к исходной дроби:
$ \frac{(c+8)(c-2) + 7}{c-2} = \frac{(c+8)(c-2)}{c-2} + \frac{7}{c-2} $
После сокращения получаем:
$ c+8 + \frac{7}{c-2} $
В этом выражении $ c+8 $ является целой частью, а $ \frac{7}{c-2} $ — дробной.
Ответ: $ c+8 + \frac{7}{c-2} $