Номер 29, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 29, страница 64.

Условие.

29. Упростите выражение:

1) $\frac{4mn - m^2}{7} \cdot \frac{14c}{m^4};$

2) $\frac{3xy - y^2}{xy + 2y^2} \cdot \frac{x^2y + 2xy^2}{3x^3 - x^2y};$

3) $\frac{x^2 - 49}{x^2 + 9x} \cdot \frac{x^2 - 81}{x^2 - 7x};$

4) $\frac{3b^2 + 6b + 3}{b^3 - 8} \cdot \frac{2b^2 + 4b + 8}{9b + 9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{4mn - m^2}{7} \cdot \frac{14c}{m^4}$, сначала разложим на множители числитель первой дроби, вынеся за скобки общий множитель $m$: $4mn - m^2 = m(4n - m)$. После этого выражение примет вид: $\frac{m(4n - m)}{7} \cdot \frac{14c}{m^4}$. Теперь выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели: $\frac{m(4n - m) \cdot 14c}{7 \cdot m^4}$. Далее сократим полученную дробь. Сокращаем $14$ и $7$ на $7$, в числителе останется $2$. Сокращаем $m$ и $m^4$ на $m$, в знаменателе останется $m^3$. В результате получаем: $\frac{(4n - m) \cdot 2c}{m^3} = \frac{2c(4n - m)}{m^3}$.
Ответ: $\frac{2c(4n - m)}{m^3}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{3xy - y^2}{xy + 2y^2} \cdot \frac{x^2y + 2xy^2}{3x^3 - x^2y}$. Разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби.
Числитель первой дроби: $3xy - y^2 = y(3x - y)$.
Знаменатель первой дроби: $xy + 2y^2 = y(x + 2y)$.
Числитель второй дроби: $x^2y + 2xy^2 = xy(x + 2y)$.
Знаменатель второй дроби: $3x^3 - x^2y = x^2(3x - y)$.
Подставим разложенные выражения в исходное: $\frac{y(3x - y)}{y(x + 2y)} \cdot \frac{xy(x + 2y)}{x^2(3x - y)}$.
Сократим общие множители: $y$, $(3x - y)$, $(x + 2y)$.
$\frac{\cancel{y}(\cancel{3x - y})}{\cancel{y}(\cancel{x + 2y})} \cdot \frac{xy(\cancel{x + 2y})}{x^2(\cancel{3x - y})} = \frac{1}{1} \cdot \frac{xy}{x^2} = \frac{xy}{x^2}$.
Сократим оставшуюся дробь на $x$: $\frac{y}{x}$.
Ответ: $\frac{y}{x}$

3) Упростим выражение $\frac{x^2 - 49}{x^2 + 9x} \cdot \frac{x^2 - 81}{x^2 - 7x}$. Для этого разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби $x^2 - 49$ является разностью квадратов: $x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.
Знаменатель первой дроби $x^2 + 9x$ раскладывается вынесением общего множителя: $x(x + 9)$.
Числитель второй дроби $x^2 - 81$ также является разностью квадратов: $x^2 - 9^2 = (x - 9)(x + 9)$.
Знаменатель второй дроби $x^2 - 7x$ раскладывается вынесением общего множителя: $x(x - 7)$.
Подставим полученные выражения: $\frac{(x - 7)(x + 7)}{x(x + 9)} \cdot \frac{(x - 9)(x + 9)}{x(x - 7)}$.
Сократим общие множители $(x - 7)$ и $(x + 9)$: $\frac{(\cancel{x - 7})(x + 7)}{x(\cancel{x + 9})} \cdot \frac{(x - 9)(\cancel{x + 9})}{x(\cancel{x - 7})}$.
Перемножим оставшиеся части: $\frac{x + 7}{x} \cdot \frac{x - 9}{x} = \frac{(x + 7)(x - 9)}{x^2}$.
Ответ: $\frac{(x + 7)(x - 9)}{x^2}$

4) Упростим выражение $\frac{3b^2 + 6b + 3}{b^3 - 8} \cdot \frac{2b^2 + 4b + 8}{9b + 9}$. Разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби: $3b^2 + 6b + 3 = 3(b^2 + 2b + 1) = 3(b + 1)^2$.
Знаменатель первой дроби является разностью кубов: $b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b - 2)(b^2 + 2b + 4)$.
Числитель второй дроби: $2b^2 + 4b + 8 = 2(b^2 + 2b + 4)$.
Знаменатель второй дроби: $9b + 9 = 9(b + 1)$.
Подставим разложенные выражения: $\frac{3(b + 1)^2}{(b - 2)(b^2 + 2b + 4)} \cdot \frac{2(b^2 + 2b + 4)}{9(b + 1)}$.
Сократим общие множители. Множитель $(b^2 + 2b + 4)$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $(b + 1)$ в числителе в степени 2, а в знаменателе в степени 1, поэтому в числителе остается $(b + 1)$. Числовые коэффициенты $3$ и $9$ сокращаются на $3$, в знаменателе остается $3$.
$\frac{\cancel{3}(b + 1)^{\cancel{2}}}{(b - 2)(\cancel{b^2 + 2b + 4})} \cdot \frac{2(\cancel{b^2 + 2b + 4})}{\cancel{9}_3(\cancel{b + 1})} = \frac{b + 1}{b - 2} \cdot \frac{2}{3}$.
Перемножим оставшиеся части: $\frac{2(b + 1)}{3(b - 2)}$.
Ответ: $\frac{2(b + 1)}{3(b - 2)}$