Номер 28, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 28, страница 64.

Условие.

28. Выполните умножение:

1) $\frac{6y}{x} \cdot \frac{x}{24y}$;

2) $\frac{x^4y}{28a} \cdot \left(-\frac{7a}{x^3y^6}\right)$;

3) $\frac{36a^8}{25b^6} \cdot \frac{15b^2}{27a^4}$;

4) $16b^5 \cdot \frac{7c^2}{8b^{10}};

5) $\frac{11n^4}{12p^6} \cdot 24p^8$;

6) $\frac{5a^5b^2}{28mn^2} \cdot \frac{8am^4}{15bn^3} \cdot \frac{21b^3n^6}{32a^6m^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для выполнения умножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{6y}{x} \cdot \frac{x}{24y} = \frac{6y \cdot x}{x \cdot 24y} $.
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Переменные $x$ и $y$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются. Также сократим числовые коэффициенты 6 и 24 на их общий делитель 6: $ \frac{6 \cdot x \cdot y}{24 \cdot x \cdot y} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

2) Перемножим числители и знаменатели дробей, учитывая знак минус: $ \frac{x^4y}{28a} \cdot (-\frac{7a}{x^3y^6}) = -\frac{x^4y \cdot 7a}{28a \cdot x^3y^6} $.
Теперь сократим дробь. Сокращаем числовые коэффициенты 7 и 28 на 7: $ \frac{7}{28} = \frac{1}{4} $. Сокращаем переменные, используя свойство степеней $ \frac{k^m}{k^n} = k^{m-n} $: $ \frac{a}{a} = a^{1-1} = a^0 = 1 $. $ \frac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x $. $ \frac{y}{y^6} = y^{1-6} = y^{-5} = \frac{1}{y^5} $. Собирая все вместе, получаем: $ -\frac{1 \cdot x}{4 \cdot y^5} = -\frac{x}{4y^5} $.
Ответ: $ -\frac{x}{4y^5} $

3) Умножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель: $ \frac{36a^8}{25b^6} \cdot \frac{15b^2}{27a^4} = \frac{36a^8 \cdot 15b^2}{25b^6 \cdot 27a^4} $.
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные. Коэффициенты: $ \frac{36 \cdot 15}{25 \cdot 27} $. Сокращаем 36 и 27 на 9 ($ \frac{4}{3} $), а 15 и 25 на 5 ($ \frac{3}{5} $). Получаем: $ \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5} $. Переменные: $ \frac{a^8}{a^4} = a^{8-4} = a^4 $. $ \frac{b^2}{b^6} = b^{2-6} = b^{-4} = \frac{1}{b^4} $. Результат: $ \frac{4a^4}{5b^4} $.
Ответ: $ \frac{4a^4}{5b^4} $

4) Представим первый множитель в виде дроби и выполним умножение: $ 16b^5 \cdot \frac{7c^2}{8b^{10}} = \frac{16b^5}{1} \cdot \frac{7c^2}{8b^{10}} = \frac{16b^5 \cdot 7c^2}{8b^{10}} $.
Сократим коэффициенты 16 и 8 на 8: $ \frac{16}{8} = 2 $. Сократим степени переменной $b$: $ \frac{b^5}{b^{10}} = b^{5-10} = b^{-5} = \frac{1}{b^5} $. Переменная $c^2$ остается в числителе. Собираем результат: $ \frac{2 \cdot 7c^2}{b^5} = \frac{14c^2}{b^5} $.
Ответ: $ \frac{14c^2}{b^5} $

5) Представим второй множитель в виде дроби и выполним умножение: $ \frac{11n^4}{12p^6} \cdot 24p^8 = \frac{11n^4}{12p^6} \cdot \frac{24p^8}{1} = \frac{11n^4 \cdot 24p^8}{12p^6} $.
Сократим числовые коэффициенты 24 и 12 на 12: $ \frac{24}{12} = 2 $. Сократим степени переменной $p$: $ \frac{p^8}{p^6} = p^{8-6} = p^2 $. Переменная $n^4$ остается без изменений. Результат: $ 11n^4 \cdot 2 \cdot p^2 = 22n^4p^2 $.
Ответ: $ 22n^4p^2 $

6) Умножим все три дроби, перемножив их числители и знаменатели: $ \frac{5a^5b^2}{28mn^2} \cdot \frac{8am^4}{15bn^3} \cdot \frac{21b^3n^6}{32a^6m^3} = \frac{5a^5b^2 \cdot 8am^4 \cdot 21b^3n^6}{28mn^2 \cdot 15bn^3 \cdot 32a^6m^3} $.
Сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени каждой переменной: $ \frac{(5 \cdot 8 \cdot 21)}{(28 \cdot 15 \cdot 32)} \cdot \frac{a^5 \cdot a}{a^6} \cdot \frac{b^2 \cdot b^3}{b} \cdot \frac{m^4}{m \cdot m^3} \cdot \frac{n^6}{n^2 \cdot n^3} $.
Упростим степени переменных, сложив показатели в произведении и вычтя в частном: $ \frac{a^{5+1}}{a^6} = \frac{a^6}{a^6} = 1 $. $ \frac{b^{2+3}}{b^1} = \frac{b^5}{b} = b^{5-1} = b^4 $. $ \frac{m^4}{m^{1+3}} = \frac{m^4}{m^4} = 1 $. $ \frac{n^6}{n^{2+3}} = \frac{n^6}{n^5} = n^{6-5} = n $. Теперь сократим числовые коэффициенты: $ \frac{5 \cdot 8 \cdot 21}{28 \cdot 15 \cdot 32} = \frac{5 \cdot 8 \cdot (3 \cdot 7)}{(4 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 8)} $. Сократив одинаковые множители (3, 5, 7, 8), получим: $ \frac{1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16} $. Объединим полученные результаты: $ \frac{1}{16} \cdot b^4 \cdot n = \frac{b^4n}{16} $.
Ответ: $ \frac{b^4n}{16} $