Номер 26, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 26, страница 63.

Условие.

26. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a + \frac{1}{b};$

2) $\frac{6}{c^4} - \frac{4}{c^2} + 3;$

3) $7 - \frac{5x + 7y}{y};$

4) $\frac{3m + 2}{m - 3} - 2;$

5) $\frac{x^2 - y^2}{4x + y} + 4x - y;$

6) $a - \frac{16}{a - 4} - 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы представить выражение $a + \frac{1}{b}$ в виде дроби, приведем слагаемое $a$ к знаменателю $b$. Для этого умножим и разделим $a$ на $b$:

$a = \frac{a \cdot b}{b} = \frac{ab}{b}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{ab}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b} $

Ответ: $\frac{ab+1}{b}$

2) Чтобы представить выражение $\frac{6}{c^4} - \frac{4}{c^2} + 3$ в виде дроби, найдем наименьший общий знаменатель. В данном случае это $c^4$. Приведем каждое слагаемое к этому знаменателю:

$\frac{4}{c^2} = \frac{4 \cdot c^2}{c^2 \cdot c^2} = \frac{4c^2}{c^4}$

$3 = \frac{3 \cdot c^4}{c^4} = \frac{3c^4}{c^4}$

Теперь выполним операции с дробями:

$\frac{6}{c^4} - \frac{4c^2}{c^4} + \frac{3c^4}{c^4} = \frac{6 - 4c^2 + 3c^4}{c^4}$

Для стандартного вида расположим члены в числителе по убыванию степеней $c$:

$\frac{3c^4 - 4c^2 + 6}{c^4}$

Ответ: $\frac{3c^4 - 4c^2 + 6}{c^4}$

3) Для выражения $7 - \frac{5x + 7y}{y}$ общим знаменателем является $y$. Представим $7$ в виде дроби со знаменателем $y$:

$7 = \frac{7y}{y}$

Выполним вычитание дробей. Важно помнить, что знак минус перед дробью относится ко всему числителю:

$\frac{7y}{y} - \frac{5x + 7y}{y} = \frac{7y - (5x + 7y)}{y}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{7y - 5x - 7y}{y} = \frac{-5x}{y} = -\frac{5x}{y}$

Ответ: $-\frac{5x}{y}$

4) В выражении $\frac{3m + 2}{m - 3} - 2$ общим знаменателем будет $m-3$. Представим $2$ в виде дроби с этим знаменателем:

$2 = \frac{2(m-3)}{m-3} = \frac{2m - 6}{m-3}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{3m + 2}{m - 3} - \frac{2m - 6}{m - 3} = \frac{(3m + 2) - (2m - 6)}{m - 3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3m + 2 - 2m + 6}{m - 3} = \frac{m + 8}{m - 3}$

Ответ: $\frac{m + 8}{m - 3}$

5) Для выражения $\frac{x^2 - y^2}{4x + y} + 4x - y$ общим знаменателем является $4x+y$. Приведем слагаемые $(4x-y)$ к этому знаменателю:

$4x - y = \frac{(4x - y)(4x + y)}{4x + y}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(4x - y)(4x + y) = (4x)^2 - y^2 = 16x^2 - y^2$

Теперь сложим дроби:

$\frac{x^2 - y^2}{4x + y} + \frac{16x^2 - y^2}{4x + y} = \frac{x^2 - y^2 + 16x^2 - y^2}{4x + y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{17x^2 - 2y^2}{4x + y}$

Ответ: $\frac{17x^2 - 2y^2}{4x + y}$

6) В выражении $a - \frac{16}{a-4} - 4$ сначала сгруппируем целые части: $(a - 4) - \frac{16}{a-4}$.

Общий знаменатель — $a-4$. Приведем выражение $(a-4)$ к этому знаменателю:

$a - 4 = \frac{(a-4)(a-4)}{a-4} = \frac{(a-4)^2}{a-4}$

Раскроем квадрат разности в числителе $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(a-4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2 - 8a + 16}{a-4} - \frac{16}{a-4} = \frac{a^2 - 8a + 16 - 16}{a-4}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2 - 8a}{a-4}$

Ответ: $\frac{a^2 - 8a}{a-4}$