Номер 21, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Упростите выражение:

1) $\frac{b-6}{b-3} - \frac{b}{3-b};$

2) $\frac{6c+4}{7-c} + \frac{3c+25}{c-7};$

3) $\frac{(3a+1)^2}{24a-24} + \frac{(a+3)^2}{24-24a};$

4) $\frac{36-8x}{(x-6)^2} - \frac{4x-x^2}{(6-x)^2}.$

1) Исходное выражение: $ \frac{b-6}{b-3} - \frac{b}{3-b} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $3-b = -(b-3)$. Заменим знаменатель второй дроби, вынеся минус перед дробью:
$ \frac{b-6}{b-3} - \frac{b}{-(b-3)} = \frac{b-6}{b-3} + \frac{b}{b-3} $
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$ \frac{(b-6)+b}{b-3} = \frac{2b-6}{b-3} $
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$ \frac{2(b-3)}{b-3} $
Сократим дробь на общий множитель $(b-3)$:
$ 2 $
Ответ: $2$

2) Исходное выражение: $ \frac{6c+4}{7-c} + \frac{3c+25}{c-7} $.
Знаменатели $7-c$ и $c-7$ являются противоположными выражениями, т.е. $c-7 = -(7-c)$. Приведем дроби к общему знаменателю $7-c$:
$ \frac{6c+4}{7-c} + \frac{3c+25}{-(7-c)} = \frac{6c+4}{7-c} - \frac{3c+25}{7-c} $
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{(6c+4) - (3c+25)}{7-c} = \frac{6c+4-3c-25}{7-c} = \frac{3c-21}{7-c} $
Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:
$ \frac{3(c-7)}{7-c} $
Заменим в числителе $c-7$ на $-(7-c)$ и сократим дробь:
$ \frac{3(-(7-c))}{7-c} = \frac{-3(7-c)}{7-c} = -3 $
Ответ: $-3$

3) Исходное выражение: $ \frac{(3a+1)^2}{24a-24} + \frac{(a+3)^2}{24-24a} $.
Сначала преобразуем знаменатели, вынеся за скобки общий множитель:
$ 24a - 24 = 24(a-1) $
$ 24 - 24a = -24(a-1) $
Приведем дроби к общему знаменателю $24(a-1)$:
$ \frac{(3a+1)^2}{24(a-1)} + \frac{(a+3)^2}{-24(a-1)} = \frac{(3a+1)^2}{24(a-1)} - \frac{(a+3)^2}{24(a-1)} $
Объединим дроби:
$ \frac{(3a+1)^2 - (a+3)^2}{24(a-1)} $
Числитель представляет собой разность квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 3a+1$ и $B = a+3$.
$ (3a+1)^2 - (a+3)^2 = ((3a+1)-(a+3))((3a+1)+(a+3)) = (3a+1-a-3)(3a+1+a+3) = (2a-2)(4a+4) $
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$ 2(a-1) \cdot 4(a+1) = 8(a-1)(a+1) $
Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$ \frac{8(a-1)(a+1)}{24(a-1)} $
Сократим дробь на общий множитель $8(a-1)$:
$ \frac{a+1}{3} $
Ответ: $\frac{a+1}{3}$

4) Исходное выражение: $ \frac{36-8x}{(x-6)^2} - \frac{4x-x^2}{(6-x)^2} $.
Заметим, что $(6-x)^2 = (-(x-6))^2 = (x-6)^2$. Таким образом, знаменатели у дробей одинаковы.
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{(36-8x) - (4x-x^2)}{(x-6)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{36-8x-4x+x^2}{(x-6)^2} = \frac{x^2 - 12x + 36}{(x-6)^2} $
Числитель является полным квадратом по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$ x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2 $
Подставим это в дробь:
$ \frac{(x-6)^2}{(x-6)^2} $
Сократим дробь:
$ 1 $
Ответ: $1$