Номер 17, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Постройте график функции:

1) $y = -\frac{3x}{x};$

2) $y = \frac{x+5}{x+5};$

3) $y = x - \frac{x+4}{x+4};$

4) $y = \frac{x+1}{x+1} + 3x;$

5) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2};$

6) $y = \frac{(1 - x)^3}{(x - 1)^2};$

7) $y = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1};$

8) $y = \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 1} - \frac{x^2 - 2x}{x}.$

1) $y = -\frac{3x}{x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Для всех значений $x$ из области определения мы можем упростить данное выражение, сократив дробь на $x$:

$y = -3$

Графиком функции является горизонтальная прямая $y = -3$. Однако, так как $x=0$ не входит в область определения, точка на прямой с абсциссой $x=0$ должна быть исключена (выколота). Ордината этой точки равна $-3$.

Ответ: График функции — это прямая $y = -3$ с выколотой точкой $(0; -3)$.

2) $y = \frac{x+5}{x+5}$

Область определения функции: знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq -5$.

При $x \neq -5$ числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю, поэтому их можно сократить:

$y = 1$

Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$. Точка с абсциссой $x = -5$ не принадлежит графику. Координаты выколотой точки: $(-5; 1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y = 1$ с выколотой точкой $(-5; 1)$.

3) $y = x - \frac{x+4}{x+4}$

Область определения функции: знаменатель $x+4$ не равен нулю, то есть $x \neq -4$.

Упростим функцию для всех $x$ из области определения. Дробь $\frac{x+4}{x+4}$ равна 1.

$y = x - 1$

Графиком функции является прямая $y = x - 1$. Найдем координаты выколотой точки. Подставим $x = -4$ в уравнение прямой: $y = -4 - 1 = -5$. Значит, точка $(-4; -5)$ не принадлежит графику.

Ответ: График функции — это прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(-4; -5)$.

4) $y = \frac{x+1}{x+1} + 3x$

Область определения функции: знаменатель $x+1$ не равен нулю, откуда $x \neq -1$.

Упростим выражение, учитывая, что $\frac{x+1}{x+1} = 1$ при $x \neq -1$:

$y = 1 + 3x$

Графиком функции является прямая $y = 3x + 1$. Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = -1$ в уравнение прямой: $y = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2$. Точка $(-1; -2)$ исключается из графика.

Ответ: График функции — это прямая $y = 3x + 1$ с выколотой точкой $(-1; -2)$.

5) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Область определения функции: знаменатель $x-2$ не равен нулю, значит $x \neq 2$.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как $x \neq 2$:

$y = x + 2$

Графиком является прямая $y = x + 2$. Координаты выколотой точки при $x=2$: $y = 2 + 2 = 4$. Точка $(2; 4)$ выколота.

Ответ: График функции — это прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2; 4)$.

6) $y = \frac{(1-x)^3}{(x-1)^2}$

Область определения функции: знаменатель $(x-1)^2$ не равен нулю, что означает $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Преобразуем числитель: $(1-x)^3 = (-(x-1))^3 = -(x-1)^3$. Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{-(x-1)^3}{(x-1)^2}$

Сократим дробь на $(x-1)^2$:

$y = -(x-1) = -x + 1$

Графиком является прямая $y = -x + 1$. Координаты выколотой точки при $x=1$: $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(1; 0)$ выколота.

Ответ: График функции — это прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(1; 0)$.

7) $y = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+1}$

Область определения функции: знаменатель $x+1$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq -1$.

Для всех $x$ из области определения выражение упрощается:

$y = 0$

Графиком функции является ось абсцисс (прямая $y=0$). Точка с абсциссой $x=-1$ должна быть выколота. Координаты этой точки $(-1; 0)$.

Ответ: График функции — это прямая $y = 0$ (ось Ox) с выколотой точкой $(-1; 0)$.

8) $y = \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 1} - \frac{x^2 - 2x}{x}$

Найдем область определения. Знаменатель первой дроби $2x-1 \neq 0$, откуда $x \neq \frac{1}{2}$. Знаменатель второй дроби $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{2}$.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: числитель $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом $(2x-1)^2$.
$\frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 1} = \frac{(2x-1)^2}{2x-1} = 2x-1$

Вторая дробь: вынесем $x$ за скобки в числителе.
$\frac{x^2 - 2x}{x} = \frac{x(x-2)}{x} = x-2$

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (2x-1) - (x-2) = 2x - 1 - x + 2 = x + 1$

Графиком функции является прямая $y = x+1$ с двумя выколотыми точками, соответствующими $x=0$ и $x=\frac{1}{2}$.

Найдем координаты выколотых точек:
При $x=0$, $y = 0+1 = 1$. Точка $(0; 1)$ выколота.
При $x=\frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$. Точка $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ выколота.

Ответ: График функции — это прямая $y = x+1$ с выколотыми точками $(0; 1)$ и $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.