Номер 10, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 10, страница 60.

Условие.

10. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $3y-6$;

2) $\frac{m-4}{7}$;

3) $\frac{7}{m-4}$;

4) $\frac{c-8}{c+10}$;

5) $\frac{12}{x^2-36}$;

6) $\frac{9}{x^6+1}$;

7) $\frac{7}{|x|-8}$;

8) $\frac{x}{|x|+4}$;

9) $\frac{x-1}{x^2+10x+25}$;

10) $\frac{c}{c-3} - \frac{6}{c+4}$;

11) $\frac{9}{x(x+9)}$;

12) $\frac{2}{2+\frac{2}{x}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выражение $3y - 6$ является целым выражением (многочленом). Оно имеет смысл при любых значениях переменной $y$, так как при его вычислении не возникает деления на ноль или других недопустимых операций.
Ответ: $y$ — любое число.

2) В выражении $\frac{m - 4}{7}$ знаменатель дроби является константой (числом 7) и не равен нулю. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $m$.
Ответ: $m$ — любое число.

3) Данное выражение является дробью. Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не обращается в ноль.
$m - 4 \neq 0$
$m \neq 4$
Ответ: $m \neq 4$.

4) Знаменатель дроби $\frac{c - 8}{c + 10}$ не должен быть равен нулю.
$c + 10 \neq 0$
$c \neq -10$
Ответ: $c \neq -10$.

5) Знаменатель дроби $\frac{12}{x^2 - 36}$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение $x^2 - 36 = 0$.
$x^2 = 36$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$
Следовательно, переменная $x$ не может принимать эти значения.
Ответ: $x \neq -6$ и $x \neq 6$.

6) Знаменатель дроби $\frac{9}{x^6 + 1}$ не должен быть равен нулю. Выражение $x^6$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным: $x^6 \geq 0$. Поэтому $x^6 + 1 \geq 1$. Знаменатель никогда не равен нулю.
Ответ: $x$ — любое число.

7) Знаменатель дроби $\frac{7}{|x| - 8}$ не должен быть равен нулю.
$|x| - 8 \neq 0$
$|x| \neq 8$
Это означает, что $x \neq 8$ и $x \neq -8$.
Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 8$.

8) Знаменатель дроби $\frac{x}{|x| + 4}$ не должен быть равен нулю. Модуль любого числа $|x|$ является неотрицательным: $|x| \geq 0$. Следовательно, $|x| + 4 \geq 4$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю.
Ответ: $x$ — любое число.

9) Знаменатель дроби $\frac{x - 1}{x^2 + 10x + 25}$ не должен быть равен нулю. Знаменатель является формулой квадрата суммы.
$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$
$(x + 5)^2 \neq 0$
$x + 5 \neq 0$
$x \neq -5$
Ответ: $x \neq -5$.

10) Выражение $\frac{c}{c - 3} - \frac{6}{c + 4}$ представляет собой разность двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю.
1) $c - 3 \neq 0 \implies c \neq 3$
2) $c + 4 \neq 0 \implies c \neq -4$
Оба условия должны выполняться.
Ответ: $c \neq 3$ и $c \neq -4$.

11) Знаменатель дроби $\frac{9}{x(x + 9)}$ не должен быть равен нулю.
$x(x + 9) \neq 0$
Произведение не равно нулю, если каждый из его множителей не равен нулю.
$x \neq 0$ и $x + 9 \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq -9$
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -9$.

12) Данное выражение $\frac{2}{2 + \frac{2}{x}}$ является многоэтажной дробью. Для того чтобы оно имело смысл, должны выполняться два условия:
1) Знаменатель внутренней дроби $\frac{2}{x}$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
2) Знаменатель основной дроби $2 + \frac{2}{x}$ не должен быть равен нулю.
$2 + \frac{2}{x} \neq 0$
$\frac{2}{x} \neq -2$
$2 \neq -2x$
$x \neq -1$
Таким образом, переменная $x$ не может быть равна 0 и -1.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.