Номер 7, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 7, страница 59.

Условие.

7. Разложите на множители:

1) $a^3 + 1;$

2) $64y^3 - x^3;$

3) $343 + m^6 n^6;$

4) $a^6 - b^{15}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для разложения на множители выражения $a^3 + 1$ используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

В данном выражении мы можем представить $1$ как $1^3$. Тогда $x=a$ и $y=1$.

Применяем формулу:

$a^3 + 1 = a^3 + 1^3 = (a+1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a+1)(a^2 - a + 1)$.

Ответ: $(a+1)(a^2 - a + 1)$.

2) Для разложения на множители выражения $64y^3 - x^3$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим $64y^3$ как куб одного выражения. Поскольку $64 = 4^3$, то $64y^3 = (4y)^3$.

Теперь наше выражение имеет вид $(4y)^3 - x^3$. В этом случае, если сравнивать с формулой, $x$ из формулы соответствует $4y$, а $y$ из формулы соответствует $x$.

Подставляем в формулу разности кубов:

$(4y)^3 - x^3 = (4y - x)((4y)^2 + (4y)x + x^2) = (4y - x)(16y^2 + 4xy + x^2)$.

Ответ: $(4y - x)(16y^2 + 4xy + x^2)$.

3) Для разложения на множители выражения $343 + m^6n^6$ снова воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим оба слагаемых в виде кубов:

$343 = 7^3$

$m^6n^6 = (m^2)^3 (n^2)^3 = (m^2n^2)^3$

Таким образом, выражение можно записать как $7^3 + (m^2n^2)^3$. Здесь $x=7$ и $y=m^2n^2$.

Применяем формулу:

$7^3 + (m^2n^2)^3 = (7 + m^2n^2)(7^2 - 7(m^2n^2) + (m^2n^2)^2) = (7 + m^2n^2)(49 - 7m^2n^2 + m^4n^4)$.

Ответ: $(7 + m^2n^2)(49 - 7m^2n^2 + m^4n^4)$.

4) Для разложения выражения $a^6 - b^{15}$ на множители, представим его как разность кубов. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Представим члены выражения в виде кубов:

$a^6 = a^{2 \cdot 3} = (a^2)^3$

$b^{15} = b^{5 \cdot 3} = (b^5)^3$

Теперь выражение имеет вид $(a^2)^3 - (b^5)^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^5$.

$(a^2)^3 - (b^5)^3 = (a^2 - b^5)((a^2)^2 + (a^2)(b^5) + (b^5)^2) = (a^2 - b^5)(a^4 + a^2b^5 + b^{10})$.

Ответ: $(a^2 - b^5)(a^4 + a^2b^5 + b^{10})$.