Номер 1, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 1, страница 59.

Условие.

1. Представьте в виде степени с основанием b выражение:

1) $(b^3)^4$;

2) $(-b^7)^2$;

3) $b^5b^2$;

4) $((b^2)^3)^6$;

5) $(b^8)^3 \cdot (b^3)^8$;

6) $(-b^3)^5 \cdot (-b^5)^7 : b^{25}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для того чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели перемножить. Это свойство степеней выражается формулой $(a^m)^n = a^{mn}$.

Применяем это свойство к выражению $(b^3)^4$:

$(b^3)^4 = b^{3 \cdot 4} = b^{12}$.

Ответ: $b^{12}$.

2) При возведении в четную степень (в данном случае во вторую степень, то есть в квадрат) отрицательного числа, результат будет положительным. То есть $(-a)^{2n} = a^{2n}$. Затем используем правило возведения степени в степень.

$(-b^7)^2 = (b^7)^2 = b^{7 \cdot 2} = b^{14}$.

Ответ: $b^{14}$.

3) При умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается тем же, а показатели складываются. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяем это свойство к выражению $b^5b^2$:

$b^5b^2 = b^{5+2} = b^7$.

Ответ: $b^7$.

4) В данном случае свойство возведения степени в степень $((a^m)^n = a^{mn})$ применяется последовательно дважды. Можно перемножить все показатели степеней.

$((b^2)^3)^6 = (b^{2 \cdot 3})^6 = (b^6)^6 = b^{6 \cdot 6} = b^{36}$.

Или можно сразу перемножить все показатели: $((b^2)^3)^6 = b^{2 \cdot 3 \cdot 6} = b^{36}$.

Ответ: $b^{36}$.

5) Сначала упростим каждый множитель, используя правило возведения степени в степень, а затем перемножим полученные степени, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием.

Первый множитель: $(b^8)^3 = b^{8 \cdot 3} = b^{24}$.

Второй множитель: $(b^3)^8 = b^{3 \cdot 8} = b^{24}$.

Теперь перемножим результаты:

$b^{24} \cdot b^{24} = b^{24+24} = b^{48}$.

Ответ: $b^{48}$.

6) Решим по действиям. Сначала разберемся со знаками и возведением в степень. При возведении в нечетную степень (5 и 7) знак "минус" сохраняется.

Первый множитель: $(-b^3)^5 = -(b^3)^5 = -b^{3 \cdot 5} = -b^{15}$.

Второй множитель: $(-b^5)^7 = -(b^5)^7 = -b^{5 \cdot 7} = -b^{35}$.

Теперь выполним умножение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$(-b^{15}) \cdot (-b^{35}) = b^{15} \cdot b^{35} = b^{15+35} = b^{50}$.

Последнее действие - деление. При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$b^{50} : b^{25} = b^{50-25} = b^{25}$.

Ответ: $b^{25}$.