Номер 177, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 177, страница 58.

Условие.

177. Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада самостоятельно, если одной бригаде на это требуется на 12 ч больше, чем другой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $x$ часов — время, за которое одна из бригад (более быстрая) может вспахать поле, работая самостоятельно.

Согласно условию, другой бригаде (более медленной) на эту же работу требуется на 12 часов больше, то есть ее время составляет $(x + 12)$ часов.

Производительность труда — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Если всю работу по вспашке поля принять за 1, то производительность быстрой бригады равна $1/x$ поля в час, а производительность медленной бригады — $1/(x+12)$ поля в час.

Известно, что работая вместе, две бригады вспахали поле за 8 часов. Это означает, что их совместная производительность составляет $1/8$ поля в час. Совместная производительность также равна сумме их индивидуальных производительностей.

На основании этого составим и решим уравнение: $ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8} $.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+12)$: $ \frac{x+12 + x}{x(x+12)} = \frac{1}{8} $.

Упростим выражение в числителе: $ \frac{2x+12}{x^2+12x} = \frac{1}{8} $.

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $ 8(2x+12) = 1(x^2+12x) $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $ 16x + 96 = x^2 + 12x $.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $ x^2 + 12x - 16x - 96 = 0 $. $ x^2 - 4x - 96 = 0 $.

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 $.

Корни уравнения находим по формуле $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $: $ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12 $. $ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8 $.

Поскольку $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -8$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Таким образом, время, за которое вспашет поле более быстрая бригада, составляет 12 часов.

Время работы более медленной бригады будет на 12 часов больше: $ 12 + 12 = 24 $ часа.

Ответ: одной бригаде для вспашки поля требуется 24 часа, а другой — 12 часов.