Номер 174, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 174, страница 57.

Условие.

174. Буксир прошёл 4 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на путь по течению на 4 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость буксира, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть собственная скорость буксира равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Тогда скорость буксира при движении по течению реки будет $v_{\text{по теч.}} = (x + 3)$ км/ч, а скорость при движении против течения — $v_{\text{против теч.}} = (x - 3)$ км/ч. Для того чтобы буксир мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, которое буксир затратил на путь в 4 км по течению, составляет $t_1 = \frac{S_1}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{4}{x+3}$ часа.

Время, затраченное на путь в 3 км против течения, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_{\text{против теч.}}} = \frac{3}{x-3}$ часа.

В условии сказано, что на путь по течению буксир затратил на 4 минуты меньше, чем на путь против течения. Переведем 4 минуты в часы: $4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, отражающее разницу во времени:

$t_2 - t_1 = \frac{1}{15}$

$\frac{3}{x-3} - \frac{4}{x+3} = \frac{1}{15}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:

$\frac{3(x+3) - 4(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{15}$

$\frac{3x + 9 - 4x + 12}{x^2 - 9} = \frac{1}{15}$

$\frac{21 - x}{x^2 - 9} = \frac{1}{15}$

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$15 \cdot (21 - x) = 1 \cdot (x^2 - 9)$

$315 - 15x = x^2 - 9$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 15x - 9 - 315 = 0$

$x^2 + 15x - 324 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 225 + 1296 = 1521$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 39}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 39}{2} = \frac{-54}{2} = -27$

Поскольку скорость не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -27$ является посторонним и не подходит по смыслу задачи. Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию $x > 3$. Таким образом, собственная скорость буксира составляет 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.