Номер 169, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $x^2 - 2ax + 3 = 0$ и $x - 2 \neq 0$.

Таким образом, нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$ имеет ровно одно решение, не равное 2. Это возможно в двух случаях:
1. Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю), и этот корень не равен 2.
2. Квадратное уравнение имеет два различных корня (дискриминант больше нуля), но один из них равен 2 (и, следовательно, является посторонним корнем для исходного уравнения).

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень.
Это происходит, когда его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4a^2 - 12$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$4a^2 - 12 = 0$
$4a^2 = 12$
$a^2 = 3$
Отсюда получаем два значения для $a$: $a_1 = \sqrt{3}$ и $a_2 = -\sqrt{3}$.
При $D=0$ единственный корень квадратного уравнения находится по формуле $x = -\frac{-2a}{2 \cdot 1} = a$.
Нам необходимо, чтобы этот корень не был равен 2, то есть $a \neq 2$.
Для $a = \sqrt{3}$ корень $x = \sqrt{3}$. Условие $\sqrt{3} \neq 2$ выполняется.
Для $a = -\sqrt{3}$ корень $x = -\sqrt{3}$. Условие $-\sqrt{3} \neq 2$ выполняется.
Следовательно, оба значения $a = \sqrt{3}$ и $a = -\sqrt{3}$ подходят.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня, один из которых равен 2.
Это происходит, когда $D > 0$ и $x=2$ является корнем уравнения $x^2 - 2ax + 3 = 0$.
Подставим $x=2$ в уравнение, чтобы найти соответствующее значение $a$:
$2^2 - 2a \cdot 2 + 3 = 0$
$4 - 4a + 3 = 0$
$7 - 4a = 0$
$a = \frac{7}{4}$.
Теперь нужно проверить, что при $a = \frac{7}{4}$ дискриминант действительно положителен.
$D = 4a^2 - 12 = 4 \left( \frac{7}{4} \right)^2 - 12 = 4 \cdot \frac{49}{16} - 12 = \frac{49}{4} - \frac{48}{4} = \frac{1}{4}$.
Так как $D = \frac{1}{4} > 0$, при $a = \frac{7}{4}$ уравнение имеет два различных корня. Один из них $x_1=2$. Второй корень, $x_2$, можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 3$.
$2 \cdot x_2 = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$.
Поскольку корень $x_1=2$ не входит в область допустимых значений исходного уравнения, единственным решением остается $x_2 = \frac{3}{2}$. Это означает, что при $a = \frac{7}{4}$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}; \frac{7}{4}\}$.