Номер 165, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 9x}{x + 3} = \frac{36}{x + 3}; $

2) $ \frac{x^2 + x}{x^2 - 25} = \frac{45 - 3x}{x^2 - 25}; $

3) $ \frac{5x - 8}{x - 1} = \frac{14x + 12}{3x + 5}; $

4) $ \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 6} = \frac{5}{28}; $

5) $ \frac{42}{x^2 + 5x} - \frac{3}{x^2 - 5x} = \frac{7}{x}; $

6) $ \frac{x + 8}{x - 4} - \frac{4}{x - 8} = \frac{2x - 56}{(x - 4)(x - 8)}; $

7) $ \frac{1}{x - 4} - \frac{3}{x^2 + 4x} = \frac{24}{x^3 - 16x}; $

8) $ \frac{1}{x - 3} - \frac{2}{x^2 + 3x + 9} = \frac{6 + 7x}{x^3 - 27}. $

1) $ \frac{x^2 - 9x}{x+3} = \frac{36}{x+3} $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x+3 \neq 0$, следовательно $x \neq -3$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:

$ x^2 - 9x = 36 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 9x - 36 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $

Находим корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ. Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию $x \neq -3$. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: 12.

2) $ \frac{x^2 + x}{x^2 - 25} = \frac{45 - 3x}{x^2 - 25} $

ОДЗ: $x^2 - 25 \neq 0$, то есть $(x-5)(x+5) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$ x^2 + x = 45 - 3x $

Переносим все члены в левую часть:

$ x^2 + x + 3x - 45 = 0 $

$ x^2 + 4x - 45 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -45. Подходят числа -9 и 5.

$ x_1 = -9 $, $ x_2 = 5 $

Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x_1 = -9$ удовлетворяет условиям. Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), поэтому это посторонний корень.

Ответ: -9.

3) $ \frac{5x - 8}{x - 1} = \frac{14x + 12}{3x + 5} $

ОДЗ: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $3x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{3}$.

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ (5x - 8)(3x + 5) = (14x + 12)(x - 1) $

Раскрываем скобки:

$ 15x^2 + 25x - 24x - 40 = 14x^2 - 14x + 12x - 12 $

$ 15x^2 + x - 40 = 14x^2 - 2x - 12 $

Приводим подобные члены:

$ 15x^2 - 14x^2 + x + 2x - 40 + 12 = 0 $

$ x^2 + 3x - 28 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -28. Это числа -7 и 4.

$ x_1 = -7 $, $ x_2 = 4 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -7; 4.

4) $ \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 6} = \frac{5}{28} $

ОДЗ: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$.

Приводим дроби в левой части к общему знаменателю $(x-4)(x+6)$:

$ \frac{(x+6) - (x-4)}{(x-4)(x+6)} = \frac{5}{28} $

$ \frac{x+6-x+4}{x^2+6x-4x-24} = \frac{5}{28} $

$ \frac{10}{x^2+2x-24} = \frac{5}{28} $

Применяем свойство пропорции:

$ 5(x^2 + 2x - 24) = 10 \cdot 28 $

Разделим обе части на 5:

$ x^2 + 2x - 24 = 2 \cdot 28 $

$ x^2 + 2x - 24 = 56 $

$ x^2 + 2x - 80 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -80. Это числа -10 и 8.

$ x_1 = -10 $, $ x_2 = 8 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -10; 8.

5) $ \frac{42}{x^2 + 5x} - \frac{3}{x^2 - 5x} = \frac{7}{x} $

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + 5x = x(x+5)$, $x^2 - 5x = x(x-5)$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$, $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

Уравнение принимает вид:

$ \frac{42}{x(x+5)} - \frac{3}{x(x-5)} = \frac{7}{x} $

Так как $x \neq 0$, умножим обе части уравнения на $x$:

$ \frac{42}{x+5} - \frac{3}{x-5} = 7 $

Приводим к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$:

$ \frac{42(x-5) - 3(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 7 $

$ \frac{42x - 210 - 3x - 15}{x^2 - 25} = 7 $

$ \frac{39x - 225}{x^2 - 25} = 7 $

$ 39x - 225 = 7(x^2 - 25) $

$ 39x - 225 = 7x^2 - 175 $

$ 7x^2 - 39x + 50 = 0 $

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = (-39)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 50 = 1521 - 1400 = 121 = 11^2 $

$ x_1 = \frac{39 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{50}{14} = \frac{25}{7} $

$ x_2 = \frac{39 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2 $

Оба корня ($2$ и $25/7$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2; $ \frac{25}{7} $.

6) $ \frac{x+8}{x-4} - \frac{4}{x-8} = \frac{2x - 56}{(x-4)(x-8)} $

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x-8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-4)(x-8)$:

$ (x+8)(x-8) - 4(x-4) = 2x - 56 $

Раскрываем скобки:

$ x^2 - 64 - 4x + 16 = 2x - 56 $

$ x^2 - 4x - 48 = 2x - 56 $

Переносим все в левую часть:

$ x^2 - 4x - 2x - 48 + 56 = 0 $

$ x^2 - 6x + 8 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение равно 8. Это числа 2 и 4.

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 4 $

Проверяем корни по ОДЗ. $x_1 = 2$ подходит. $x_2 = 4$ не подходит ($x \neq 4$), это посторонний корень.

Ответ: 2.

7) $ \frac{1}{x-4} - \frac{3}{x^2 + 4x} = \frac{24}{x^3 - 16x} $

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + 4x = x(x+4)$ и $x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x-4)(x+4)$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$, $x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.

Уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{x-4} - \frac{3}{x(x+4)} = \frac{24}{x(x-4)(x+4)} $

Умножим обе части на общий знаменатель $x(x-4)(x+4)$:

$ 1 \cdot x(x+4) - 3(x-4) = 24 $

$ x^2 + 4x - 3x + 12 = 24 $

$ x^2 + x + 12 - 24 = 0 $

$ x^2 + x - 12 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней -1, произведение -12. Это числа -4 и 3.

$ x_1 = -4 $, $ x_2 = 3 $

Проверяем по ОДЗ. Корень $x_1 = -4$ не подходит ($x \neq -4$). Корень $x_2 = 3$ подходит.

Ответ: 3.

8) $ \frac{1}{x-3} - \frac{2}{x^2 + 3x + 9} = \frac{6+7x}{x^3 - 27} $

Используем формулу разности кубов: $x^3 - 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. Выражение $x^2 + 3x + 9$ всегда положительно (его дискриминант $3^2 - 4 \cdot 9 = -27 < 0$), поэтому оно никогда не равно нулю.

Умножим обе части на общий знаменатель $(x-3)(x^2 + 3x + 9)$:

$ 1 \cdot (x^2 + 3x + 9) - 2(x-3) = 6+7x $

$ x^2 + 3x + 9 - 2x + 6 = 6 + 7x $

$ x^2 + x + 15 = 6 + 7x $

$ x^2 + x - 7x + 15 - 6 = 0 $

$ x^2 - 6x + 9 = 0 $

Это полный квадрат: $(x-3)^2 = 0$.

Отсюда $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Проверяем корень по ОДЗ. Корень $x=3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, значит, является посторонним.

Ответ: нет корней.