Номер 164, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Решите уравнение:

1) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$;

2) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$;

3) $9x^4 - 19x^2 + 2 = 0$;

4) $5x^4 + 3x^2 - 2 = 0$.

1) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 17t + 16 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Очевидно, что корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.
Либо через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2}$
$t_1 = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$t_2 = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.
1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2. Если $t = 16$, то $x^2 = 16$, откуда $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-4; -1; 1; 4$.

2) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 7t - 18 = 0$.

Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 11}{2}$
$t_1 = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$t_2 = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Остается корень $t_2 = 9$.

Вернемся к замене:
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $-3; 3$.

3) $9x^4 - 19x^2 + 2 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $9t^2 - 19t + 2 = 0$.

Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 361 - 72 = 289 = 17^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 17}{2 \cdot 9} = \frac{19 \pm 17}{18}$
$t_1 = \frac{19 - 17}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
$t_2 = \frac{19 + 17}{18} = \frac{36}{18} = 2$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.
1. Если $t = \frac{1}{9}$, то $x^2 = \frac{1}{9}$, откуда $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.
2. Если $t = 2$, то $x^2 = 2$, откуда $x_3 = \sqrt{2}$ и $x_4 = -\sqrt{2}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\sqrt{2}; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \sqrt{2}$.

4) $5x^4 + 3x^2 - 2 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2 \cdot 5} = \frac{-3 \pm 7}{10}$
$t_1 = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$
$t_2 = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Остается корень $t_2 = \frac{2}{5}$.

Вернемся к замене:
$x^2 = \frac{2}{5}$
$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{10}}{5}; \frac{\sqrt{10}}{5}$.