Номер 167, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 167, страница 56.

Условие.

167. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $\frac{x^2}{(3x + 1)^2} - \frac{6x}{3x + 1} + 5 = 0;$

2) $\frac{x - 5}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 5} = -2\frac{1}{2};$

3) $\frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{3(2x + 1)} = -\frac{8}{3};$

4) $\frac{4x - 3}{x + 1} + \frac{4(x + 1)}{4x - 3} = 5;$

5) $\frac{x^2 + 2x - 2}{5} - \frac{6}{5x^2 + 10x - 10} = 1;$

6) $\frac{x^2 + 4x - 9}{x} - \frac{4x}{x^2 + 4x - 9} = 3;$

7) $\frac{2}{x^2 + 3x + 4} + \frac{3}{x^2 + 3x + 1} = \frac{8}{x^2 + 3x - 2};$

8) $\frac{21}{x^2 - 4x + 10} - x^2 + 4x = 6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x^2}{(3x+1)^2} - \frac{6x}{3x+1} + 5 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $3x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$.

Уравнение можно переписать в виде $(\frac{x}{3x+1})^2 - 6(\frac{x}{3x+1}) + 5 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{3x+1}$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\frac{x}{3x+1} = 1$.
$x = 3x+1$
$-2x = 1$
$x_1 = -\frac{1}{2}$

2. Если $t = 5$, то $\frac{x}{3x+1} = 5$.
$x = 5(3x+1)$
$x = 15x+5$
$-14x = 5$
$x_2 = -\frac{5}{14}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -\frac{1}{3}$).

Ответ: $-\frac{1}{2}; -\frac{5}{14}$.

2) $\frac{x-5}{x+3} + \frac{x+3}{x-5} = -2\frac{1}{2}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq 5$.

Введем замену. Пусть $t = \frac{x-5}{x+3}$. Тогда $\frac{x+3}{x-5} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = -\frac{5}{2}$

Приведем к общему знаменателю $2t$ (при $t \neq 0$):
$2t^2 + 2 = -5t$
$2t^2 + 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5-3}{4} = -2$
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1. Если $t = -2$, то $\frac{x-5}{x+3} = -2$.
$x-5 = -2(x+3)$
$x-5 = -2x-6$
$3x = -1$
$x_1 = -\frac{1}{3}$

2. Если $t = -\frac{1}{2}$, то $\frac{x-5}{x+3} = -\frac{1}{2}$.
$2(x-5) = -(x+3)$
$2x-10 = -x-3$
$3x = 7$
$x_2 = \frac{7}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{7}{3}$.

3) $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{3(2x+1)} = -\frac{8}{3}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$.

Введем замену. Пусть $t = \frac{2x+1}{x}$. Тогда $\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{3t} = -\frac{8}{3}$

Умножим обе части на $3t$ (при $t \neq 0$):
$3t^2 + 4 = -8t$
$3t^2 + 8t + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.
$t_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8-4}{6} = -2$
$t_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8+4}{6} = -\frac{2}{3}$

Выполним обратную замену:

1. Если $t = -2$, то $\frac{2x+1}{x} = -2$.
$2x+1 = -2x$
$4x = -1$
$x_1 = -\frac{1}{4}$

2. Если $t = -\frac{2}{3}$, то $\frac{2x+1}{x} = -\frac{2}{3}$.
$3(2x+1) = -2x$
$6x+3 = -2x$
$8x = -3$
$x_2 = -\frac{3}{8}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{4}; -\frac{3}{8}$.

4) $\frac{4x-3}{x+1} + \frac{4(x+1)}{4x-3} = 5$

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $4x-3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{4}$.

Введем замену. Пусть $t = \frac{4x-3}{x+1}$. Тогда $\frac{x+1}{4x-3} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{t} = 5$

Приведем к общему знаменателю $t$ (при $t \neq 0$):
$t^2 + 4 = 5t$
$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\frac{4x-3}{x+1} = 1$.
$4x-3 = x+1$
$3x = 4$
$x_1 = \frac{4}{3}$

2. Если $t = 4$, то $\frac{4x-3}{x+1} = 4$.
$4x-3 = 4(x+1)$
$4x-3 = 4x+4$
$-3 = 4$, что является ложным равенством. В этом случае решений нет.

Корень $x = \frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5) $\frac{x^2+2x-2}{5} - \frac{6}{5x^2+10x-10} = 1$

Заметим, что $5x^2+10x-10 = 5(x^2+2x-2)$.
ОДЗ: $5x^2+10x-10 \neq 0 \implies x^2+2x-2 \neq 0$.

Введем замену. Пусть $t = x^2+2x-2$. Уравнение принимает вид:

$\frac{t}{5} - \frac{6}{5t} = 1$

Умножим обе части на $5t$ (при $t \neq 0$):
$t^2 - 6 = 5t$
$t^2 - 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 6$, $t_2 = -1$. Оба значения удовлетворяют условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 6$, то $x^2+2x-2 = 6$.
$x^2+2x-8 = 0$
По теореме Виета, $x_1 = 2$, $x_2 = -4$.

2. Если $t = -1$, то $x^2+2x-2 = -1$.
$x^2+2x-1 = 0$
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4+4=8$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
$x_3 = -1 + \sqrt{2}$, $x_4 = -1 - \sqrt{2}$.

Проверим ОДЗ: $x^2+2x-2 \neq 0$. При найденных значениях $x$, выражение $x^2+2x-2$ равно 6 или -1, то есть не равно нулю. Все четыре корня являются решениями.

Ответ: $-4; 2; -1-\sqrt{2}; -1+\sqrt{2}$.

6) $\frac{x^2+4x-9}{x} - \frac{4x}{x^2+4x-9} = 3$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x^2+4x-9 \neq 0$.

Введем замену. Пусть $t = \frac{x^2+4x-9}{x}$. Уравнение принимает вид:

$t - \frac{4}{t} = 3$

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$):
$t^2 - 4 = 3t$
$t^2 - 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 4$, $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t=4$, то $\frac{x^2+4x-9}{x} = 4$.
$x^2+4x-9 = 4x$
$x^2 - 9 = 0$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

2. Если $t=-1$, то $\frac{x^2+4x-9}{x} = -1$.
$x^2+4x-9 = -x$
$x^2+5x-9 = 0$
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 25+36=61$.
$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{61}}{2}$.

Все найденные корни не равны 0. Проверим второе условие ОДЗ $x^2+4x-9 \neq 0$. Для $x=3$: $3^2+4(3)-9 = 9+12-9 = 12 \neq 0$. Для $x=-3$: $(-3)^2+4(-3)-9 = 9-12-9 = -12 \neq 0$. Для $x^2+5x-9=0$, выражение $x^2+4x-9 = -x$. Так как $x \neq 0$, то и $-x \neq 0$. Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; -3; \frac{-5-\sqrt{61}}{2}; \frac{-5+\sqrt{61}}{2}$.

7) $\frac{2}{x^2+3x+4} + \frac{3}{x^2+3x+1} = \frac{8}{x^2+3x-2}$

Введем замену. Пусть $t = x^2+3x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{2}{t+4} + \frac{3}{t+1} = \frac{8}{t-2}$

ОДЗ для $t$: $t \neq -4$, $t \neq -1$, $t \neq 2$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{2(t+1)+3(t+4)}{(t+4)(t+1)} = \frac{8}{t-2}$
$\frac{2t+2+3t+12}{(t+4)(t+1)} = \frac{8}{t-2}$
$\frac{5t+14}{t^2+5t+4} = \frac{8}{t-2}$

Используем правило пропорции:
$(5t+14)(t-2) = 8(t^2+5t+4)$
$5t^2-10t+14t-28 = 8t^2+40t+32$
$5t^2+4t-28 = 8t^2+40t+32$
$0 = 3t^2+36t+60$

Разделим на 3: $t^2+12t+20 = 0$.
По теореме Виета, $t_1 = -10$, $t_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = -10$, то $x^2+3x = -10$.
$x^2+3x+10 = 0$
Дискриминант $D = 3^2-4 \cdot 1 \cdot 10 = 9-40 = -31 < 0$. Действительных корней нет.

2. Если $t = -2$, то $x^2+3x = -2$.
$x^2+3x+2 = 0$
По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = -2$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения. При $x=-1$ и $x=-2$ выражение $x^2+3x = -2$. Знаменатели равны: $-2+4=2$, $-2+1=-1$, $-2-2=-4$. Ни один из них не равен нулю. Корни подходят.

Ответ: $-2; -1$.

8) $\frac{21}{x^2-4x+10} - x^2+4x = 6$

Перепишем уравнение: $\frac{21}{x^2-4x+10} - (x^2-4x) = 6$.
Знаменатель $x^2-4x+10 = (x-2)^2+6$ всегда положителен, поэтому ОДЗ - все действительные числа.

Введем замену. Пусть $t = x^2-4x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{21}{t+10} - t = 6$

Умножим обе части на $t+10$ (при $t \neq -10$):
$21 - t(t+10) = 6(t+10)$
$21 - t^2 - 10t = 6t+60$
$0 = t^2+16t+39$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 = -13$, $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = -13$, то $x^2-4x = -13$.
$x^2-4x+13 = 0$
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16-52 = -36 < 0$. Действительных корней нет.

2. Если $t = -3$, то $x^2-4x = -3$.
$x^2-4x+3 = 0$
По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Ответ: $1; 3$.