Номер 163, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 163, страница 55.

Условие.

163. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $ (a^2 + 2a - 8)x = a^2 - 4; $

2) $ (a^2 - 6a - 27)x = 3a^2 + 10a + 3. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано уравнение $(a^2 + 2a - 8)x = a^2 - 4$.

Это линейное уравнение относительно $x$ вида $Kx = B$, где коэффициент при $x$ равен $K = a^2 + 2a - 8$, а свободный член $B = a^2 - 4$. Решение зависит от значения коэффициента $K$.

Найдем значения параметра $a$, при которых коэффициент $K$ обращается в ноль.

$a^2 + 2a - 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -4$.

Рассмотрим три случая.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a^2 + 2a - 8 \neq 0$. Это выполняется при $a \neq 2$ и $a \neq -4$.
В этом случае уравнение имеет единственный корень:
$x = \frac{a^2 - 4}{a^2 + 2a - 8}$
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$
$a^2 + 2a - 8 = (a-2)(a+4)$
Подставим разложения в формулу для $x$:
$x = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)(a+4)}$
Так как $a \neq 2$, то множитель $(a-2)$ не равен нулю, и на него можно сократить:
$x = \frac{a+2}{a+4}$

Случай 2: $a = 2$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$(2^2 + 2 \cdot 2 - 8)x = 2^2 - 4$
$(4 + 4 - 8)x = 4 - 4$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, $x$ - любое действительное число.

Случай 3: $a = -4$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$((-4)^2 + 2 \cdot (-4) - 8)x = (-4)^2 - 4$
$(16 - 8 - 8)x = 16 - 4$
$0 \cdot x = 12$
Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = 2$, то $x$ — любое число; если $a = -4$, то корней нет; если $a \neq 2$ и $a \neq -4$, то $x = \frac{a+2}{a+4}$.

2)

Дано уравнение $(a^2 - 6a - 27)x = 3a^2 + 10a + 3$.

Это линейное уравнение относительно $x$ вида $Kx = B$, где $K = a^2 - 6a - 27$ и $B = 3a^2 + 10a + 3$.

Найдем значения $a$, при которых коэффициент $K$ равен нулю.

$a^2 - 6a - 27 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $a_1 = 9$ и $a_2 = -3$.

Рассмотрим три случая.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a^2 - 6a - 27 \neq 0$. Это выполняется при $a \neq 9$ и $a \neq -3$.
В этом случае уравнение имеет единственный корень:
$x = \frac{3a^2 + 10a + 3}{a^2 - 6a - 27}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем их корни.
Корни знаменателя мы уже нашли: $a=9$ и $a=-3$. Значит, $a^2 - 6a -