Номер 163, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $ (a^2 + 2a - 8)x = a^2 - 4; $

2) $ (a^2 - 6a - 27)x = 3a^2 + 10a + 3. $

Это линейные уравнения вида $Ax = B$, где коэффициенты $A$ и $B$ зависят от параметра $a$. Для их решения нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент при $x$ равен нулю или отличен от него.

1) $(a^2 + 2a - 8)x = a^2 - 4$

Разложим коэффициенты на множители:

• $a^2 + 2a - 8 = (a + 4)(a - 2)$ (по теореме Виета);
• $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$ (разность квадратов).

Уравнение принимает вид: $(a + 4)(a - 2)x = (a - 2)(a + 2)$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $(a + 4)(a - 2) \neq 0$, то есть $a \neq -4$ и $a \neq 2$:
   Разделим обе части на коэффициент при $x$: $x = \frac{(a-2)(a+2)}{(a+4)(a-2)} = \mathbf{\frac{a+2}{a+4}}$.
2. Если $a = 2$:
   Уравнение превращается в $0 \cdot x = 0$. Это верно при любом $x$.
   Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое число).
3. Если $a = -4$:
   Уравнение превращается в $0 \cdot x = (-6) \cdot (-2) \Rightarrow 0 = 12$. Это неверно.
   Ответ: корней нет.

2) $(a^2 - 6a - 27)x = 3a^2 + 10a + 3$

Разложим на множители:

• $a^2 - 6a - 27 = (a - 9)(a + 3)$;
• Для $3a^2 + 10a + 3$: корни $a_1 = -3$, $a_2 = -1/3$. Разложение: $3(a + 3)(a + 1/3) = (a + 3)(3a + 1)$.

Уравнение принимает вид: $(a - 9)(a + 3)x = (a + 3)(3a + 1)$.

Рассмотрим случаи:

1. Если $(a - 9)(a + 3) \neq 0$, то есть $a \neq 9$ и $a \neq -3$:
   $x = \frac{(a+3)(3a+1)}{(a-9)(a+3)} = \mathbf{\frac{3a+1}{a-9}}$.
2. Если $a = -3$:
   Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$.
   Ответ: $x \in \mathbb{R}$.
3. Если $a = 9$:
   Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 12 \cdot 28 \Rightarrow 0 = 336$.
   Ответ: корней нет.