Номер 162, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 162, страница 55.

Условие.

162. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 + xy - 6y^2$;

2) $3a^2 - 10ab + 3b^2$;

3) $6m^2 - mn - n^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы разложить многочлен $x^2 + xy - 6y^2$ на множители, воспользуемся методом группировки. Для этого представим средний член $xy$ в виде суммы двух слагаемых. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $xy$, то есть $1$, а произведение равно произведению коэффициентов при $x^2$ и $y^2$, то есть $1 \cdot (-6) = -6$. Такими числами являются $3$ и $-2$, так как $3 + (-2) = 1$ и $3 \cdot (-2) = -6$.

Перепишем многочлен, заменив $xy$ на $3xy - 2xy$:

$x^2 + 3xy - 2xy - 6y^2$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 + 3xy) - (2xy + 6y^2) = x(x + 3y) - 2y(x + 3y)$

Видим общий множитель $(x + 3y)$, который также выносим за скобки:

$(x - 2y)(x + 3y)$

Ответ: $(x - 2y)(x + 3y)$.

2) Для разложения многочлена $3a^2 - 10ab + 3b^2$ применим тот же метод. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $ab$, то есть $-10$, а произведение равно произведению коэффициентов при $a^2$ и $b^2$, то есть $3 \cdot 3 = 9$. Эти числа — $-9$ и $-1$, так как $(-9) + (-1) = -10$ и $(-9) \cdot (-1) = 9$.

Представим $-10ab$ как $-9ab - ab$:

$3a^2 - 9ab - ab + 3b^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(3a^2 - 9ab) - (ab - 3b^2) = 3a(a - 3b) - b(a - 3b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 3b)$ за скобки:

$(3a - b)(a - 3b)$

Ответ: $(3a - b)(a - 3b)$.

3) Разложим на множители многочлен $6m^2 - mn - n^2$. Найдем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $mn$, то есть $-1$, а произведение равно произведению коэффициентов при $m^2$ и $n^2$, то есть $6 \cdot (-1) = -6$. Этим условиям удовлетворяют числа $-3$ и $2$, так как $-3 + 2 = -1$ и $-3 \cdot 2 = -6$.

Представим $-mn$ как $-3mn + 2mn$:

$6m^2 - 3mn + 2mn - n^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(6m^2 - 3mn) + (2mn - n^2) = 3m(2m - n) + n(2m - n)$

Вынесем общий множитель $(2m - n)$ за скобки:

$(3m + n)(2m - n)$

Ответ: $(3m + n)(2m - n)$.