Номер 155, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза меньше соответствующих корней уравнения $5x^2 - 18x + 8 = 0$.

Для составления нового квадратного уравнения, корни которого связаны с корнями исходного уравнения, можно использовать метод подстановки. Этот способ является наиболее быстрым и наглядным.

Шаг 1: Определение связи между корнями

Исходное уравнение: $5x^2 - 18x + 8 = 0$.

Пусть $x$ — это корень исходного уравнения.

Пусть $y$ — это корень нового (искомого) уравнения.

По условию задачи, корни нового уравнения в 2 раза меньше соответствующих корней исходного. Следовательно, связь между корнями можно выразить формулой:

$y = \frac{x}{2}$

Шаг 2: Выражение корня исходного уравнения через корень нового

Из полученного соотношения выразим $x$ через $y$:

$x = 2y$

Шаг 3: Подстановка в исходное уравнение

Поскольку $x$ является корнем уравнения $5x^2 - 18x + 8 = 0$, мы можем подставить в него выражение $x = 2y$. В результате мы получим уравнение, которому будет удовлетворять корень $y$.

$5(2y)^2 - 18(2y) + 8 = 0$

Шаг 4: Упрощение и получение искомого уравнения

Теперь выполним алгебраические преобразования, чтобы упростить полученное уравнение:

$5(4y^2) - 36y + 8 = 0$

$20y^2 - 36y + 8 = 0$

Полученное уравнение является искомым. Однако, для удобства, его можно упростить, разделив все его члены на их наибольший общий делитель, который равен 4.

$\frac{20y^2}{4} - \frac{36y}{4} + \frac{8}{4} = \frac{0}{4}$

$5y^2 - 9y + 2 = 0$

Обычно в качестве переменной в уравнениях используется $x$, поэтому заменим $y$ на $x$.

Ответ: $5x^2 - 9x + 2 = 0$