Номер 152, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 152, страница 54.

Условие.

152. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 2x + q = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 + 3x_2 = 1$. Найдите корни уравнения и значение $q$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 2x + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для данного уравнения, сумма и произведение корней равны:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Также, по условию задачи, корни удовлетворяют соотношению:

$2x_1 + 3x_2 = 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ 2x_1 + 3x_2 = 1 \end{cases}$

Выразим $x_1$ из первого уравнения:

$x_1 = -2 - x_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(-2 - x_2) + 3x_2 = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_2$:

$-4 - 2x_2 + 3x_2 = 1$

$x_2 - 4 = 1$

$x_2 = 5$

Теперь найдем $x_1$, подставив значение $x_2$ в выражение для $x_1$:

$x_1 = -2 - 5$

$x_1 = -7$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: -7 и 5.

Теперь найдем значение параметра $q$. По теореме Виета, произведение корней равно $q$:

$q = x_1 \cdot x_2$

Подставим найденные значения корней:

$q = (-7) \cdot 5 = -35$

Проверим, подставив найденные значения в исходное уравнение $x^2 + 2x - 35 = 0$. Его корни действительно равны -7 и 5.

Ответ: корни уравнения равны -7 и 5; значение $q = -35$.