Номер 150, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 150, страница 54.

Условие.

150. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + ax + 16 = 0$ удовлетворяют условию $x_1 = 4x_2$. Найдите корни уравнения и значение $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $x^2 + ax + 16 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, корни связаны соотношением $x_1 = 4x_2$.

Для решения воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + ax + 16 = 0$ коэффициенты равны $p=a$ и $q=16$. Таким образом, мы можем составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($x_1$, $x_2$, $a$):

1) $x_1 + x_2 = -a$
2) $x_1 \cdot x_2 = 16$
3) $x_1 = 4x_2$

Подставим выражение для $x_1$ из уравнения (3) в уравнение (2), чтобы найти значения корней:

$(4x_2) \cdot x_2 = 16$

$4x_2^2 = 16$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x_2^2 = 4$

Из этого уравнения следует, что $x_2$ может принимать два значения: $x_2 = 2$ или $x_2 = -2$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x_2 = 2$.

Используя уравнение (3), находим второй корень $x_1$:

$x_1 = 4 \cdot x_2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Теперь, зная оба корня (8 и 2), найдем значение параметра $a$ из уравнения (1):

$a = -(x_1 + x_2) = -(8 + 2) = -10$.

Таким образом, первое возможное решение: корни уравнения равны 2 и 8, а параметр $a = -10$.

Случай 2: $x_2 = -2$.

Используя уравнение (3), находим второй корень $x_1$:

$x_1 = 4 \cdot x_2 = 4 \cdot (-2) = -8$.

Теперь найдем соответствующее значение $a$ из уравнения (1):

$a = -(x_1 + x_2) = -(-8 + (-2)) = -(-10) = 10$.

Таким образом, второе возможное решение: корни уравнения равны -2 и -8, а параметр $a = 10$.

Проверим оба найденных решения.
При $a = -10$ уравнение имеет вид $x^2 - 10x + 16 = 0$. Его корни $x_1=8, x_2=2$. Соотношение $x_1=4x_2$ выполняется: $8=4 \cdot 2$.
При $a = 10$ уравнение имеет вид $x^2 + 10x + 16 = 0$. Его корни $x_1=-8, x_2=-2$. Соотношение $x_1=4x_2$ выполняется: $-8=4 \cdot (-2)$.
Оба набора значений удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: задача имеет два решения: корни 2 и 8 при $a = -10$; или корни -2 и -8 при $a = 10$.