Номер 148, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. При каком значении $m$ корни уравнения $x^2 + mx - 11 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $x^2 + mx - 11 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, корни являются противоположными числами. Это означает, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Для нахождения параметра $m$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, то есть $x_1 + x_2 = -p$.

В нашем уравнении $x^2 + mx - 11 = 0$ коэффициент при $x$ (то есть $p$) равен $m$. Следовательно, по теореме Виета, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -m$.

Так как мы знаем, что сумма корней равна 0 (из условия о противоположных числах) и в то же время она равна $-m$ (по теореме Виета), мы можем приравнять эти два выражения:

$-m = 0$

Отсюда следует, что $m = 0$.

Теперь, когда мы нашли значение $m$, мы можем найти сами корни. Для этого подставим значение $m=0$ в исходное уравнение:

$x^2 + (0) \cdot x - 11 = 0$

Уравнение принимает вид:

$x^2 - 11 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Чтобы его решить, перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 11$

Далее извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{11}$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{11}$ и $x_2 = -\sqrt{11}$. Эти числа действительно являются противоположными, что подтверждает правильность наших рассуждений.

Ответ: $m=0$; корни уравнения: $\sqrt{11}$ и $-\sqrt{11}$.